拉格朗日乘數法：在約束 $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$ 下，求 $$$f{\left(x,y \right)} = 81 x^{2} + y^{2}$$$ 的極大值與極小值

在約束 $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$ 下，求 $$$f{\left(x,y \right)} = 81 x^{2} + y^{2}$$$ 的最大值與最小值。

注意！ 此計算器不會檢查應用拉格朗日乘數法的條件。使用風險自負：答案可能不正確。

將約束條件 $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$ 改寫為 $$$4 x^{2} + y^{2} - 9 = 0$$$。

寫出拉格朗日函數：$$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)$$$。

求所有一階偏導數：

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 2 x \left(4 \lambda + 81\right)$$$ (如需步驟，請參見偏導數計算器).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 2 y \left(\lambda + 1\right)$$$ (如需步驟，請參見偏導數計算器).

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 4 x^{2} + y^{2} - 9$$$ (如需步驟，請參見偏導數計算器).

接下來，解聯立方程組 $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ 或 $$$\begin{cases} 2 x \left(4 \lambda + 81\right) = 0 \\ 2 y \left(\lambda + 1\right) = 0 \\ 4 x^{2} + y^{2} - 9 = 0 \end{cases}$$$。

該系統有以下實數解：$$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{3}{2}, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, -3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{3}{2}, 0\right)$$$。

$$$f{\left(- \frac{3}{2},0 \right)} = \frac{729}{4}$$$

$$$f{\left(0,-3 \right)} = 9$$$

$$$f{\left(0,3 \right)} = 9$$$

$$$f{\left(\frac{3}{2},0 \right)} = \frac{729}{4}$$$

因此，最小值為 $$$9$$$，最大值為 $$$\frac{729}{4}$$$。

最大值

在$$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{3}{2}, 0\right) = \left(-1.5, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{3}{2}, 0\right) = \left(1.5, 0\right)$$$A處的$$$\frac{729}{4} = 182.25$$$A。

最小值

在$$$\left(x, y\right) = \left(0, -3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 3\right)$$$A處的$$$9$$$A。