拉格朗日乘數法：在約束 $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$ 下，求 $$$f{\left(x,y \right)} = 4 x + y$$$ 的極大值與極小值

在約束 $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$ 下，求 $$$f{\left(x,y \right)} = 4 x + y$$$ 的最大值與最小值。

注意！ 此計算器不會檢查應用拉格朗日乘數法的條件。使用風險自負：答案可能不正確。

將約束條件 $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$ 改寫為 $$$- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20 = 0$$$。

寫出拉格朗日函數：$$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)$$$。

求所有一階偏導數：

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \lambda \sqrt{y}}{8 \sqrt{x}} + 4$$$ (如需步驟，請參見偏導數計算器).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \lambda \sqrt{x}}{8 \sqrt{y}} + 1$$$ (如需步驟，請參見偏導數計算器).

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20$$$ (如需步驟，請參見偏導數計算器).

接下來，解聯立方程組 $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ 或 $$$\begin{cases} - \frac{5 \lambda \sqrt{y}}{8 \sqrt{x}} + 4 = 0 \\ - \frac{5 \lambda \sqrt{x}}{8 \sqrt{y}} + 1 = 0 \\ - \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20 = 0 \end{cases}$$$。

該方程組有以下實數解：$$$\left(x, y\right) = \left(8, 32\right)$$$。

$$$f{\left(8,32 \right)} = 64$$$

取點$$$\left(x, y\right) = \left(\frac{801}{100}, \frac{25600}{801}\right)$$$。

由於 $$$f{\left(\frac{801}{100},\frac{25600}{801} \right)} = \frac{1281601}{20025}$$$ 大於 $$$64$$$，可斷定 $$$64$$$ 為最小值。

最大值

沒有最大值。

最小值

在$$$\left(x, y\right) = \left(8, 32\right)$$$A處的$$$64$$$A。