$$$\left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle$$$ 的散度

計算 $$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle$$$。

依定義，$$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle = \nabla\cdot \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle$$$，或者等價地，$$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle = \left\langle \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right\rangle\cdot \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle$$$，其中 $$$\cdot$$$ 是點積運算子。

因此，$$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle = \frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} y\right) + \frac{\partial}{\partial y} \left(x y z\right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(y z^{2}\right)$$$。

求分量 1 對 $$$x$$$ 的偏導數：$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} y\right) = 2 x y$$$（步驟請參見 導數計算器）。

求分量 2 對 $$$y$$$ 的偏導數：$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x y z\right) = x z$$$（步驟請參見 導數計算器）。

求分量 3 對 $$$z$$$ 的偏導數：$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(y z^{2}\right) = 2 y z$$$（步驟請參見 導數計算器）。

現在，只需將上述表達式相加即可得到散度：$$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle = 2 x y + x z + 2 y z$$$

$$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle = 2 x y + x z + 2 y z$$$A