函數 $$$f{\left(x \right)} = 5 x^{x}$$$ 在 $$$x = 3$$$ 處的瞬時變化率

求 $$$f{\left(x \right)} = 5 x^{x}$$$ 在 $$$x = 3$$$ 處的瞬時變化率。

函數$$$f{\left(x \right)}$$$在點$$$x = x_{0}$$$處的瞬時變化率等於函數$$$f{\left(x \right)}$$$在點$$$x = x_{0}$$$處的導數。

這表示我們需要求 $$$5 x^{x}$$$ 的導數，並在 $$$x = 3$$$ 處對其求值。

那麼，求函數的導數：$$$\frac{d}{dx} \left(5 x^{x}\right) = 5 x^{x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)$$$（步驟請參見導數計算器）。

最後，在$$$x = 3$$$處計算導數。

$$$\left(\frac{d}{dx} \left(5 x^{x}\right)\right)|_{\left(x = 3\right)} = \left(5 x^{x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)\right)|_{\left(x = 3\right)} = 135 + 135 \ln\left(3\right)$$$

因此，$$$f{\left(x \right)} = 5 x^{x}$$$ 在 $$$x = 3$$$ 的瞬時變化率為 $$$135 + 135 \ln\left(3\right)$$$。

函數$$$f{\left(x \right)} = 5 x^{x}$$$A在$$$x = 3$$$A處的瞬時變化率為$$$135 + 135 \ln\left(3\right)\approx 283.312658970194808$$$A。