函數微分計算器
逐步求函數的微分
對於給定的函數 $$$y=f(x)$$$、點 $$$x_0$$$ 以及自變數的增量 $$$\Delta x_0$$$，計算器將求出微分 $$$dy$$$ 與函數增量 $$$\Delta y$$$，並顯示步驟。
您的輸入
在 $$$x_{0} = 1$$$ 與 $$$\Delta x_{0} = \frac{1}{4}$$$ 下，求 $$$f{\left(x \right)} = x^{3}$$$ 的微分 $$$dy$$$ 與函數增量 $$$\Delta y$$$。
解答
求第二點：$$$x_{0} + \Delta x_{0} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$$$。
在兩個點處求該函數的值：$$$f{\left(x_{0} + \Delta x_{0} \right)} = f{\left(\frac{5}{4} \right)} = \frac{125}{64}$$$、$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(1 \right)} = 1$$$。
根據定義：$$$\Delta y = f{\left(x_{0} + \Delta x_{0} \right)} - f{\left(x_{0} \right)} = \frac{125}{64} - 1 = \frac{61}{64}$$$。
求導數：$$$f^{\prime }\left(x\right) = 3 x^{2}$$$（步驟請參見導數計算器）。
在$$$x_{0} = 1$$$處計算導數：$$$f^{\prime }\left(1\right) = 3$$$。
微分定義為 $$$dy = f^{\prime }\left(x_{0}\right) \Delta x_{0} = \left(3\right)\cdot \left(\frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4}$$$。
請注意，隨著 $$$\Delta x_0 \to 0$$$，$$$dy$$$ 的值會更接近 $$$\Delta y$$$。
答案
$$$\Delta y = \frac{61}{64} = 0.953125$$$A, $$$dy = \frac{3}{4} = 0.75$$$A.