$$$f{\left(x \right)} = x^{3} - 31 x - 30$$$ 的可能有理根與實際有理根
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求 $$$x^{3} - 31 x - 30 = 0$$$ 的有理零點。
解答
由於所有係數皆為整數，我們可以應用有理根定理。
尾係數（常數項的係數）為 $$$-30$$$。
求其因數（包含正號與負號）：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$。
以下是 $$$p$$$ 的可能取值。
首項係數（最高次項的係數）為 $$$1$$$。
求其因數（含正負號）：$$$\pm 1$$$
這些是 $$$q$$$ 的可能取值。
求$$$\frac{p}{q}$$$的所有可能取值：$$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{5}{1}$$$, $$$\pm \frac{6}{1}$$$, $$$\pm \frac{10}{1}$$$, $$$\pm \frac{15}{1}$$$, $$$\pm \frac{30}{1}$$$。
化簡並去除重複項（若有）。
這些是可能的有理根：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$。
接著，檢查可能的根：如果$$$a$$$是多項式$$$P{\left(x \right)}$$$的根，則將$$$P{\left(x \right)}$$$除以$$$x - a$$$的餘數應等於$$$0$$$（根據餘式定理，這意味著$$$P{\left(a \right)} = 0$$$）。
檢查 $$$1$$$：將 $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ 除以 $$$x - 1$$$。
$$$P{\left(1 \right)} = -60$$$；因此，餘數為 $$$-60$$$。
檢查 $$$-1$$$：將 $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ 除以 $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$。
$$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$；因此，餘數為 $$$0$$$。
因此，$$$-1$$$ 是一個根。
檢查 $$$2$$$：將 $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ 除以 $$$x - 2$$$。
$$$P{\left(2 \right)} = -84$$$；因此，餘數為 $$$-84$$$。
檢查 $$$-2$$$：將 $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ 除以 $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$。
$$$P{\left(-2 \right)} = 24$$$；因此，餘數為 $$$24$$$。
檢查 $$$3$$$：將 $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ 除以 $$$x - 3$$$。
$$$P{\left(3 \right)} = -96$$$；因此，餘數為 $$$-96$$$。
檢查 $$$-3$$$：將 $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ 除以 $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$。
$$$P{\left(-3 \right)} = 36$$$；因此，餘數為 $$$36$$$。
檢查 $$$5$$$：將 $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ 除以 $$$x - 5$$$。
$$$P{\left(5 \right)} = -60$$$；因此，餘數為 $$$-60$$$。
檢查 $$$-5$$$：將 $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ 除以 $$$x - \left(-5\right) = x + 5$$$。
$$$P{\left(-5 \right)} = 0$$$；因此，餘數為 $$$0$$$。
因此，$$$-5$$$ 是一個根。
檢查 $$$6$$$：將 $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ 除以 $$$x - 6$$$。
$$$P{\left(6 \right)} = 0$$$；因此，餘數為 $$$0$$$。
因此，$$$6$$$ 是一個根。
檢查 $$$-6$$$：將 $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ 除以 $$$x - \left(-6\right) = x + 6$$$。
$$$P{\left(-6 \right)} = -60$$$；因此，餘數為 $$$-60$$$。
檢查 $$$10$$$：將 $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ 除以 $$$x - 10$$$。
$$$P{\left(10 \right)} = 660$$$；因此，餘數為 $$$660$$$。
檢查 $$$-10$$$：將 $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ 除以 $$$x - \left(-10\right) = x + 10$$$。
$$$P{\left(-10 \right)} = -720$$$；因此，餘數為 $$$-720$$$。
檢查 $$$15$$$：將 $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ 除以 $$$x - 15$$$。
$$$P{\left(15 \right)} = 2880$$$；因此，餘數為 $$$2880$$$。
檢查 $$$-15$$$：將 $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ 除以 $$$x - \left(-15\right) = x + 15$$$。
$$$P{\left(-15 \right)} = -2940$$$；因此，餘數為 $$$-2940$$$。
檢查 $$$30$$$：將 $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ 除以 $$$x - 30$$$。
$$$P{\left(30 \right)} = 26040$$$；因此，餘數為 $$$26040$$$。
檢查 $$$-30$$$：將 $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ 除以 $$$x - \left(-30\right) = x + 30$$$。
$$$P{\left(-30 \right)} = -26100$$$；因此，餘數為 $$$-26100$$$。
答案
可能的有理根：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$A。
實際的有理根：$$$-1$$$, $$$-5$$$, $$$6$$$A。