$$$f{\left(x \right)} = x^{6} - 64$$$ 的可能有理根與實際有理根
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求 $$$x^{6} - 64 = 0$$$ 的有理零點。
解答
由於所有係數皆為整數，我們可以應用有理根定理。
尾係數（常數項的係數）為 $$$-64$$$。
求其因數（包含正號與負號）：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 8$$$, $$$\pm 16$$$, $$$\pm 32$$$, $$$\pm 64$$$。
以下是 $$$p$$$ 的可能取值。
首項係數（最高次項的係數）為 $$$1$$$。
求其因數（含正負號）：$$$\pm 1$$$
這些是 $$$q$$$ 的可能取值。
求$$$\frac{p}{q}$$$的所有可能取值：$$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{4}{1}$$$, $$$\pm \frac{8}{1}$$$, $$$\pm \frac{16}{1}$$$, $$$\pm \frac{32}{1}$$$, $$$\pm \frac{64}{1}$$$。
化簡並去除重複項（若有）。
這些是可能的有理根：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 8$$$, $$$\pm 16$$$, $$$\pm 32$$$, $$$\pm 64$$$。
接著，檢查可能的根：如果$$$a$$$是多項式$$$P{\left(x \right)}$$$的根，則將$$$P{\left(x \right)}$$$除以$$$x - a$$$的餘數應等於$$$0$$$（根據餘式定理，這意味著$$$P{\left(a \right)} = 0$$$）。
檢查 $$$1$$$：將 $$$x^{6} - 64$$$ 除以 $$$x - 1$$$。
$$$P{\left(1 \right)} = -63$$$；因此，餘數為 $$$-63$$$。
檢查 $$$-1$$$：將 $$$x^{6} - 64$$$ 除以 $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$。
$$$P{\left(-1 \right)} = -63$$$；因此，餘數為 $$$-63$$$。
檢查 $$$2$$$：將 $$$x^{6} - 64$$$ 除以 $$$x - 2$$$。
$$$P{\left(2 \right)} = 0$$$；因此，餘數為 $$$0$$$。
因此，$$$2$$$ 是一個根。
檢查 $$$-2$$$：將 $$$x^{6} - 64$$$ 除以 $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$。
$$$P{\left(-2 \right)} = 0$$$；因此，餘數為 $$$0$$$。
因此，$$$-2$$$ 是一個根。
檢查 $$$4$$$：將 $$$x^{6} - 64$$$ 除以 $$$x - 4$$$。
$$$P{\left(4 \right)} = 4032$$$；因此，餘數為 $$$4032$$$。
檢查 $$$-4$$$：將 $$$x^{6} - 64$$$ 除以 $$$x - \left(-4\right) = x + 4$$$。
$$$P{\left(-4 \right)} = 4032$$$；因此，餘數為 $$$4032$$$。
檢查 $$$8$$$：將 $$$x^{6} - 64$$$ 除以 $$$x - 8$$$。
$$$P{\left(8 \right)} = 262080$$$；因此，餘數為 $$$262080$$$。
檢查 $$$-8$$$：將 $$$x^{6} - 64$$$ 除以 $$$x - \left(-8\right) = x + 8$$$。
$$$P{\left(-8 \right)} = 262080$$$；因此，餘數為 $$$262080$$$。
檢查 $$$16$$$：將 $$$x^{6} - 64$$$ 除以 $$$x - 16$$$。
$$$P{\left(16 \right)} = 16777152$$$；因此，餘數為 $$$16777152$$$。
檢查 $$$-16$$$：將 $$$x^{6} - 64$$$ 除以 $$$x - \left(-16\right) = x + 16$$$。
$$$P{\left(-16 \right)} = 16777152$$$；因此，餘數為 $$$16777152$$$。
檢查 $$$32$$$：將 $$$x^{6} - 64$$$ 除以 $$$x - 32$$$。
$$$P{\left(32 \right)} = 1073741760$$$；因此，餘數為 $$$1073741760$$$。
檢查 $$$-32$$$：將 $$$x^{6} - 64$$$ 除以 $$$x - \left(-32\right) = x + 32$$$。
$$$P{\left(-32 \right)} = 1073741760$$$；因此，餘數為 $$$1073741760$$$。
檢查 $$$64$$$：將 $$$x^{6} - 64$$$ 除以 $$$x - 64$$$。
$$$P{\left(64 \right)} = 68719476672$$$；因此，餘數為 $$$68719476672$$$。
檢查 $$$-64$$$：將 $$$x^{6} - 64$$$ 除以 $$$x - \left(-64\right) = x + 64$$$。
$$$P{\left(-64 \right)} = 68719476672$$$；因此，餘數為 $$$68719476672$$$。
答案
可能的有理根：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 8$$$, $$$\pm 16$$$, $$$\pm 32$$$, $$$\pm 64$$$A。
實際的有理根：$$$2$$$, $$$-2$$$A。