$$$f{\left(x \right)} = x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ 的可能有理根與實際有理根

求 $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49 = 0$$$ 的有理零點。

由於所有係數皆為整數，我們可以應用有理根定理。

尾係數（常數項的係數）為 $$$-49$$$。

求其因數（包含正號與負號）：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 49$$$。

以下是 $$$p$$$ 的可能取值。

首項係數（最高次項的係數）為 $$$1$$$。

求其因數（含正負號）：$$$\pm 1$$$

這些是 $$$q$$$ 的可能取值。

求$$$\frac{p}{q}$$$的所有可能取值：$$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{7}{1}$$$, $$$\pm \frac{49}{1}$$$。

化簡並去除重複項（若有）。

這些是可能的有理根：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 49$$$。

接著，檢查可能的根：如果$$$a$$$是多項式$$$P{\left(x \right)}$$$的根，則將$$$P{\left(x \right)}$$$除以$$$x - a$$$的餘數應等於$$$0$$$（根據餘式定理，這意味著$$$P{\left(a \right)} = 0$$$）。

• 檢查 $$$1$$$：將 $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ 除以 $$$x - 1$$$。

  $$$P{\left(1 \right)} = -96$$$；因此，餘數為 $$$-96$$$。

• 檢查 $$$-1$$$：將 $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ 除以 $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$。

  $$$P{\left(-1 \right)} = -96$$$；因此，餘數為 $$$-96$$$。

• 檢查 $$$7$$$：將 $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ 除以 $$$x - 7$$$。

  $$$P{\left(7 \right)} = 0$$$；因此，餘數為 $$$0$$$。

  因此，$$$7$$$ 是一個根。

• 檢查 $$$-7$$$：將 $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ 除以 $$$x - \left(-7\right) = x + 7$$$。

  $$$P{\left(-7 \right)} = 0$$$；因此，餘數為 $$$0$$$。

  因此，$$$-7$$$ 是一個根。

• 檢查 $$$49$$$：將 $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ 除以 $$$x - 49$$$。

  $$$P{\left(49 \right)} = 5649504$$$；因此，餘數為 $$$5649504$$$。

• 檢查 $$$-49$$$：將 $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ 除以 $$$x - \left(-49\right) = x + 49$$$。

  $$$P{\left(-49 \right)} = 5649504$$$；因此，餘數為 $$$5649504$$$。

可能的有理根：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 49$$$A。

實際的有理根：$$$7$$$, $$$-7$$$A。