$$$f{\left(x \right)} = 4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ 的可能有理根與實際有理根
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求 $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9 = 0$$$ 的有理零點。
解答
由於所有係數皆為整數，我們可以應用有理根定理。
尾係數（常數項的係數）為 $$$9$$$。
求其因數（包含正號與負號）：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$。
以下是 $$$p$$$ 的可能取值。
首項係數（最高次項的係數）為 $$$4$$$。
求其因數（含正負號）：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$
這些是 $$$q$$$ 的可能取值。
求$$$\frac{p}{q}$$$的所有可能取值：$$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{1}{4}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{4}$$$, $$$\pm \frac{9}{1}$$$, $$$\pm \frac{9}{2}$$$, $$$\pm \frac{9}{4}$$$。
化簡並去除重複項（若有）。
這些是可能的有理根：$$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{1}{4}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{4}$$$, $$$\pm 9$$$, $$$\pm \frac{9}{2}$$$, $$$\pm \frac{9}{4}$$$。
接著，檢查可能的根：如果$$$a$$$是多項式$$$P{\left(x \right)}$$$的根，則將$$$P{\left(x \right)}$$$除以$$$x - a$$$的餘數應等於$$$0$$$（根據餘式定理，這意味著$$$P{\left(a \right)} = 0$$$）。
檢查 $$$1$$$：將 $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ 除以 $$$x - 1$$$。
$$$P{\left(1 \right)} = -24$$$；因此，餘數為 $$$-24$$$。
檢查 $$$-1$$$：將 $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ 除以 $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$。
$$$P{\left(-1 \right)} = -24$$$；因此，餘數為 $$$-24$$$。
檢查 $$$\frac{1}{2}$$$：將 $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ 除以 $$$x - \frac{1}{2}$$$。
$$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = 0$$$；因此，餘數為 $$$0$$$。
因此，$$$\frac{1}{2}$$$ 是一個根。
檢查 $$$- \frac{1}{2}$$$：將 $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ 除以 $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$。
$$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = 0$$$；因此，餘數為 $$$0$$$。
因此，$$$- \frac{1}{2}$$$ 是一個根。
檢查 $$$\frac{1}{4}$$$：將 $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ 除以 $$$x - \frac{1}{4}$$$。
$$$P{\left(\frac{1}{4} \right)} = \frac{429}{64}$$$；因此，餘數為 $$$\frac{429}{64}$$$。
檢查 $$$- \frac{1}{4}$$$：將 $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ 除以 $$$x - \left(- \frac{1}{4}\right) = x + \frac{1}{4}$$$。
$$$P{\left(- \frac{1}{4} \right)} = \frac{429}{64}$$$；因此，餘數為 $$$\frac{429}{64}$$$。
檢查 $$$3$$$：將 $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ 除以 $$$x - 3$$$。
$$$P{\left(3 \right)} = 0$$$；因此，餘數為 $$$0$$$。
因此，$$$3$$$ 是一個根。
檢查 $$$-3$$$：將 $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ 除以 $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$。
$$$P{\left(-3 \right)} = 0$$$；因此，餘數為 $$$0$$$。
因此，$$$-3$$$ 是一個根。
檢查 $$$\frac{3}{2}$$$：將 $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ 除以 $$$x - \frac{3}{2}$$$。
$$$P{\left(\frac{3}{2} \right)} = -54$$$；因此，餘數為 $$$-54$$$。
檢查 $$$- \frac{3}{2}$$$：將 $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ 除以 $$$x - \left(- \frac{3}{2}\right) = x + \frac{3}{2}$$$。
$$$P{\left(- \frac{3}{2} \right)} = -54$$$；因此，餘數為 $$$-54$$$。
檢查 $$$\frac{3}{4}$$$：將 $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ 除以 $$$x - \frac{3}{4}$$$。
$$$P{\left(\frac{3}{4} \right)} = - \frac{675}{64}$$$；因此，餘數為 $$$- \frac{675}{64}$$$。
檢查 $$$- \frac{3}{4}$$$：將 $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ 除以 $$$x - \left(- \frac{3}{4}\right) = x + \frac{3}{4}$$$。
$$$P{\left(- \frac{3}{4} \right)} = - \frac{675}{64}$$$；因此，餘數為 $$$- \frac{675}{64}$$$。
檢查 $$$9$$$：將 $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ 除以 $$$x - 9$$$。
$$$P{\left(9 \right)} = 23256$$$；因此，餘數為 $$$23256$$$。
檢查 $$$-9$$$：將 $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ 除以 $$$x - \left(-9\right) = x + 9$$$。
$$$P{\left(-9 \right)} = 23256$$$；因此，餘數為 $$$23256$$$。
檢查 $$$\frac{9}{2}$$$：將 $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ 除以 $$$x - \frac{9}{2}$$$。
$$$P{\left(\frac{9}{2} \right)} = 900$$$；因此，餘數為 $$$900$$$。
檢查 $$$- \frac{9}{2}$$$：將 $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ 除以 $$$x - \left(- \frac{9}{2}\right) = x + \frac{9}{2}$$$。
$$$P{\left(- \frac{9}{2} \right)} = 900$$$；因此，餘數為 $$$900$$$。
檢查 $$$\frac{9}{4}$$$：將 $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ 除以 $$$x - \frac{9}{4}$$$。
$$$P{\left(\frac{9}{4} \right)} = - \frac{4851}{64}$$$；因此，餘數為 $$$- \frac{4851}{64}$$$。
檢查 $$$- \frac{9}{4}$$$：將 $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ 除以 $$$x - \left(- \frac{9}{4}\right) = x + \frac{9}{4}$$$。
$$$P{\left(- \frac{9}{4} \right)} = - \frac{4851}{64}$$$；因此，餘數為 $$$- \frac{4851}{64}$$$。
答案
可能的有理根：$$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{1}{4}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{4}$$$, $$$\pm 9$$$, $$$\pm \frac{9}{2}$$$, $$$\pm \frac{9}{4}$$$A。
實際的有理根：$$$\frac{1}{2}$$$, $$$- \frac{1}{2}$$$, $$$3$$$, $$$-3$$$A。