將 $$$x^{3}$$$ 除以 $$$x - 3$$$

請將題目寫成特殊格式（缺少的項以零係數表示）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x-3&x^{3}+0 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

步驟 1

將被除式的首項除以除式的首項：$$$\frac{x^{3}}{x} = x^{2}$$$。

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$x^{2} \left(x-3\right) = x^{3}- 3 x^{2}$$$。

從所得結果中減去被除數：$$$\left(x^{3}\right) - \left(x^{3}- 3 x^{2}\right) = 3 x^{2}$$$。

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Violet}x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-3&{\color{Violet}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Violet}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Violet}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 3 x^{2}&&&{\color{Violet}x^{2}} \left(x-3\right) = x^{3}- 3 x^{2}\\\hline\\&&3 x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

步驟 2

將所得餘式的首項除以除式的首項：$$$\frac{3 x^{2}}{x} = 3 x$$$

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$3 x \left(x-3\right) = 3 x^{2}- 9 x$$$。

從所得結果中減去餘數：$$$\left(3 x^{2}\right) - \left(3 x^{2}- 9 x\right) = 9 x$$$。

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&{\color{Blue}+3 x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-3&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 3 x^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{Blue}3 x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Blue}3 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Blue}3 x}\\&&-\phantom{3 x^{2}}&&&\\&&3 x^{2}&- 9 x&&{\color{Blue}3 x} \left(x-3\right) = 3 x^{2}- 9 x\\\hline\\&&&9 x&+0&\end{array}$$

步驟 3

將所得餘式的首項除以除式的首項：$$$\frac{9 x}{x} = 9$$$

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$9 \left(x-3\right) = 9 x-27$$$。

從所得結果中減去餘數：$$$\left(9 x\right) - \left(9 x-27\right) = 27$$$。

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&+3 x&{\color{Red}+9}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-3&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 3 x^{2}&&&\\\hline\\&&3 x^{2}&+0 x&+0&\\&&-\phantom{3 x^{2}}&&&\\&&3 x^{2}&- 9 x&&\\\hline\\&&&{\color{Red}9 x}&+0&\frac{{\color{Red}9 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Red}9}\\&&&-\phantom{9 x}&&\\&&&9 x&-27&{\color{Red}9} \left(x-3\right) = 9 x-27\\\hline\\&&&&27&\end{array}$$

由於餘式的次數小於除式的次數，我們就完成了。

結果表再次顯示如下：

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Violet}x^{2}}&{\color{Blue}+3 x}&{\color{Red}+9}&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}x}-3&{\color{Violet}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Violet}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Violet}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 3 x^{2}&&&{\color{Violet}x^{2}} \left(x-3\right) = x^{3}- 3 x^{2}\\\hline\\&&{\color{Blue}3 x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Blue}3 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Blue}3 x}\\&&-\phantom{3 x^{2}}&&&\\&&3 x^{2}&- 9 x&&{\color{Blue}3 x} \left(x-3\right) = 3 x^{2}- 9 x\\\hline\\&&&{\color{Red}9 x}&+0&\frac{{\color{Red}9 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Red}9}\\&&&-\phantom{9 x}&&\\&&&9 x&-27&{\color{Red}9} \left(x-3\right) = 9 x-27\\\hline\\&&&&27&\end{array}$$

因此，$$$\frac{x^{3}}{x - 3} = \left(x^{2} + 3 x + 9\right) + \frac{27}{x - 3}$$$。