將 $$$x^{3} \left(x - 1\right)$$$ 除以 $$$x - 2$$$

將被除數改寫為：$$$x^{3} \left(x - 1\right) = x^{4} - x^{3}$$$。

請將題目寫成特殊格式（缺少的項以零係數表示）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x-2&x^{4}- x^{3}+0 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

步驟 1

將被除式的首項除以除式的首項：$$$\frac{x^{4}}{x} = x^{3}$$$。

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$x^{3} \left(x-2\right) = x^{4}- 2 x^{3}$$$。

從所得結果中減去被除數：$$$\left(x^{4}- x^{3}\right) - \left(x^{4}- 2 x^{3}\right) = x^{3}$$$。

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Crimson}x^{3}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&{\color{Crimson}x^{4}}&- x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Crimson}x^{4}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Crimson}x^{3}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- 2 x^{3}&&&&{\color{Crimson}x^{3}} \left(x-2\right) = x^{4}- 2 x^{3}\\\hline\\&&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

步驟 2

將所得餘式的首項除以除式的首項：$$$\frac{x^{3}}{x} = x^{2}$$$

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$x^{2} \left(x-2\right) = x^{3}- 2 x^{2}$$$。

從所得結果中減去餘數：$$$\left(x^{3}\right) - \left(x^{3}- 2 x^{2}\right) = 2 x^{2}$$$。

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{3}&{\color{DarkMagenta}+x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&x^{4}&- x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- 2 x^{3}&&&&\\\hline\\&&{\color{DarkMagenta}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkMagenta}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkMagenta}x^{2}}\\&&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&&x^{3}&- 2 x^{2}&&&{\color{DarkMagenta}x^{2}} \left(x-2\right) = x^{3}- 2 x^{2}\\\hline\\&&&2 x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

步驟 3

將所得餘式的首項除以除式的首項：$$$\frac{2 x^{2}}{x} = 2 x$$$

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$2 x \left(x-2\right) = 2 x^{2}- 4 x$$$。

從所得結果中減去餘數：$$$\left(2 x^{2}\right) - \left(2 x^{2}- 4 x\right) = 4 x$$$。

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{3}&+x^{2}&{\color{GoldenRod}+2 x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&x^{4}&- x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- 2 x^{3}&&&&\\\hline\\&&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&&x^{3}&- 2 x^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{GoldenRod}2 x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{GoldenRod}2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{GoldenRod}2 x}\\&&&-\phantom{2 x^{2}}&&&\\&&&2 x^{2}&- 4 x&&{\color{GoldenRod}2 x} \left(x-2\right) = 2 x^{2}- 4 x\\\hline\\&&&&4 x&+0&\end{array}$$

步驟 4

將所得餘式的首項除以除式的首項：$$$\frac{4 x}{x} = 4$$$

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$4 \left(x-2\right) = 4 x-8$$$。

從所得結果中減去餘數：$$$\left(4 x\right) - \left(4 x-8\right) = 8$$$。

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{3}&+x^{2}&+2 x&{\color{DarkBlue}+4}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&x^{4}&- x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- 2 x^{3}&&&&\\\hline\\&&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&&x^{3}&- 2 x^{2}&&&\\\hline\\&&&2 x^{2}&+0 x&+0&\\&&&-\phantom{2 x^{2}}&&&\\&&&2 x^{2}&- 4 x&&\\\hline\\&&&&{\color{DarkBlue}4 x}&+0&\frac{{\color{DarkBlue}4 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkBlue}4}\\&&&&-\phantom{4 x}&&\\&&&&4 x&-8&{\color{DarkBlue}4} \left(x-2\right) = 4 x-8\\\hline\\&&&&&8&\end{array}$$

由於餘式的次數小於除式的次數，我們就完成了。

結果表再次顯示如下：

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Crimson}x^{3}}&{\color{DarkMagenta}+x^{2}}&{\color{GoldenRod}+2 x}&{\color{DarkBlue}+4}&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&{\color{Crimson}x^{4}}&- x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Crimson}x^{4}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Crimson}x^{3}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- 2 x^{3}&&&&{\color{Crimson}x^{3}} \left(x-2\right) = x^{4}- 2 x^{3}\\\hline\\&&{\color{DarkMagenta}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkMagenta}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkMagenta}x^{2}}\\&&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&&x^{3}&- 2 x^{2}&&&{\color{DarkMagenta}x^{2}} \left(x-2\right) = x^{3}- 2 x^{2}\\\hline\\&&&{\color{GoldenRod}2 x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{GoldenRod}2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{GoldenRod}2 x}\\&&&-\phantom{2 x^{2}}&&&\\&&&2 x^{2}&- 4 x&&{\color{GoldenRod}2 x} \left(x-2\right) = 2 x^{2}- 4 x\\\hline\\&&&&{\color{DarkBlue}4 x}&+0&\frac{{\color{DarkBlue}4 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkBlue}4}\\&&&&-\phantom{4 x}&&\\&&&&4 x&-8&{\color{DarkBlue}4} \left(x-2\right) = 4 x-8\\\hline\\&&&&&8&\end{array}$$

因此，$$$\frac{x^{3} \left(x - 1\right)}{x - 2} = \left(x^{3} + x^{2} + 2 x + 4\right) + \frac{8}{x - 2}$$$。