將 $$$x^{3} + 7 x^{2} + 1$$$ 除以 $$$x - 1$$$

請將題目寫成特殊格式（缺少的項以零係數表示）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x-1&x^{3}+7 x^{2}+0 x+1\end{array}$$$

步驟 1

將被除式的首項除以除式的首項：$$$\frac{x^{3}}{x} = x^{2}$$$。

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$x^{2} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}$$$。

從所得結果中減去被除數：$$$\left(x^{3}+7 x^{2}+1\right) - \left(x^{3}- x^{2}\right) = 8 x^{2}+1$$$。

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{DarkMagenta}x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&{\color{DarkMagenta}x^{3}}&+7 x^{2}&+0 x&+1&\frac{{\color{DarkMagenta}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkMagenta}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&{\color{DarkMagenta}x^{2}} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}\\\hline\\&&8 x^{2}&+0 x&+1&\end{array}$$

步驟 2

將所得餘式的首項除以除式的首項：$$$\frac{8 x^{2}}{x} = 8 x$$$

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$8 x \left(x-1\right) = 8 x^{2}- 8 x$$$。

從所得結果中減去餘數：$$$\left(8 x^{2}+1\right) - \left(8 x^{2}- 8 x\right) = 8 x+1$$$。

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&{\color{DarkBlue}+8 x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{3}&+7 x^{2}&+0 x&+1&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{DarkBlue}8 x^{2}}&+0 x&+1&\frac{{\color{DarkBlue}8 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkBlue}8 x}\\&&-\phantom{8 x^{2}}&&&\\&&8 x^{2}&- 8 x&&{\color{DarkBlue}8 x} \left(x-1\right) = 8 x^{2}- 8 x\\\hline\\&&&8 x&+1&\end{array}$$

步驟 3

將所得餘式的首項除以除式的首項：$$$\frac{8 x}{x} = 8$$$

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$8 \left(x-1\right) = 8 x-8$$$。

從所得結果中減去餘數：$$$\left(8 x+1\right) - \left(8 x-8\right) = 9$$$。

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&+8 x&{\color{Brown}+8}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{3}&+7 x^{2}&+0 x&+1&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&8 x^{2}&+0 x&+1&\\&&-\phantom{8 x^{2}}&&&\\&&8 x^{2}&- 8 x&&\\\hline\\&&&{\color{Brown}8 x}&+1&\frac{{\color{Brown}8 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Brown}8}\\&&&-\phantom{8 x}&&\\&&&8 x&-8&{\color{Brown}8} \left(x-1\right) = 8 x-8\\\hline\\&&&&9&\end{array}$$

由於餘式的次數小於除式的次數，我們就完成了。

結果表再次顯示如下：

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{DarkMagenta}x^{2}}&{\color{DarkBlue}+8 x}&{\color{Brown}+8}&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&{\color{DarkMagenta}x^{3}}&+7 x^{2}&+0 x&+1&\frac{{\color{DarkMagenta}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkMagenta}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&{\color{DarkMagenta}x^{2}} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}\\\hline\\&&{\color{DarkBlue}8 x^{2}}&+0 x&+1&\frac{{\color{DarkBlue}8 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkBlue}8 x}\\&&-\phantom{8 x^{2}}&&&\\&&8 x^{2}&- 8 x&&{\color{DarkBlue}8 x} \left(x-1\right) = 8 x^{2}- 8 x\\\hline\\&&&{\color{Brown}8 x}&+1&\frac{{\color{Brown}8 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Brown}8}\\&&&-\phantom{8 x}&&\\&&&8 x&-8&{\color{Brown}8} \left(x-1\right) = 8 x-8\\\hline\\&&&&9&\end{array}$$

因此，$$$\frac{x^{3} + 7 x^{2} + 1}{x - 1} = \left(x^{2} + 8 x + 8\right) + \frac{9}{x - 1}$$$。