將 $$$x^{3}$$$ 除以 $$$x - 1$$$

請將題目寫成特殊格式（缺少的項以零係數表示）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x-1&x^{3}+0 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

步驟 1

將被除式的首項除以除式的首項：$$$\frac{x^{3}}{x} = x^{2}$$$。

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$x^{2} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}$$$。

從所得結果中減去被除數：$$$\left(x^{3}\right) - \left(x^{3}- x^{2}\right) = x^{2}$$$。

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Green}x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&{\color{Green}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Green}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Green}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&{\color{Green}x^{2}} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}\\\hline\\&&x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

步驟 2

將所得餘式的首項除以除式的首項：$$$\frac{x^{2}}{x} = x$$$

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$x \left(x-1\right) = x^{2}- x$$$。

從所得結果中減去餘數：$$$\left(x^{2}\right) - \left(x^{2}- x\right) = x$$$。

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&{\color{Purple}+x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{Purple}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Purple}x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Purple}x}\\&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&x^{2}&- x&&{\color{Purple}x} \left(x-1\right) = x^{2}- x\\\hline\\&&&x&+0&\end{array}$$

步驟 3

將所得餘式的首項除以除式的首項：$$$\frac{x}{x} = 1$$$

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$1 \left(x-1\right) = x-1$$$。

從所得結果中減去餘數：$$$\left(x\right) - \left(x-1\right) = 1$$$。

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&+x&{\color{BlueViolet}+1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&x^{2}&+0 x&+0&\\&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&x^{2}&- x&&\\\hline\\&&&{\color{BlueViolet}x}&+0&\frac{{\color{BlueViolet}x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{BlueViolet}1}\\&&&-\phantom{x}&&\\&&&x&-1&{\color{BlueViolet}1} \left(x-1\right) = x-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

由於餘式的次數小於除式的次數，我們就完成了。

結果表再次顯示如下：

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Green}x^{2}}&{\color{Purple}+x}&{\color{BlueViolet}+1}&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&{\color{Green}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Green}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Green}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&{\color{Green}x^{2}} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}\\\hline\\&&{\color{Purple}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Purple}x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Purple}x}\\&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&x^{2}&- x&&{\color{Purple}x} \left(x-1\right) = x^{2}- x\\\hline\\&&&{\color{BlueViolet}x}&+0&\frac{{\color{BlueViolet}x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{BlueViolet}1}\\&&&-\phantom{x}&&\\&&&x&-1&{\color{BlueViolet}1} \left(x-1\right) = x-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

因此，$$$\frac{x^{3}}{x - 1} = \left(x^{2} + x + 1\right) + \frac{1}{x - 1}$$$。