將 $$$2 x^{3} - x^{2} - 12$$$ 除以 $$$x + 3$$$

請將題目寫成特殊格式（缺少的項以零係數表示）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x+3&2 x^{3}- x^{2}+0 x-12\end{array}$$$

步驟 1

將被除式的首項除以除式的首項：$$$\frac{2 x^{3}}{x} = 2 x^{2}$$$。

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$2 x^{2} \left(x+3\right) = 2 x^{3}+6 x^{2}$$$。

從所得結果中減去被除數：$$$\left(2 x^{3}- x^{2}-12\right) - \left(2 x^{3}+6 x^{2}\right) = - 7 x^{2}-12$$$。

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Crimson}2 x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}+3&{\color{Crimson}2 x^{3}}&- x^{2}&+0 x&-12&\frac{{\color{Crimson}2 x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Crimson}2 x^{2}}\\&-\phantom{2 x^{3}}&&&&\\&2 x^{3}&+6 x^{2}&&&{\color{Crimson}2 x^{2}} \left(x+3\right) = 2 x^{3}+6 x^{2}\\\hline\\&&- 7 x^{2}&+0 x&-12&\end{array}$$

步驟 2

將所得餘式的首項除以除式的首項：$$$\frac{- 7 x^{2}}{x} = - 7 x$$$

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$- 7 x \left(x+3\right) = - 7 x^{2}- 21 x$$$。

從所得結果中減去餘數：$$$\left(- 7 x^{2}-12\right) - \left(- 7 x^{2}- 21 x\right) = 21 x-12$$$。

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&2 x^{2}&{\color{Violet}- 7 x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}+3&2 x^{3}&- x^{2}&+0 x&-12&\\&-\phantom{2 x^{3}}&&&&\\&2 x^{3}&+6 x^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{Violet}- 7 x^{2}}&+0 x&-12&\frac{{\color{Violet}- 7 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Violet}- 7 x}\\&&-\phantom{- 7 x^{2}}&&&\\&&- 7 x^{2}&- 21 x&&{\color{Violet}- 7 x} \left(x+3\right) = - 7 x^{2}- 21 x\\\hline\\&&&21 x&-12&\end{array}$$

步驟 3

將所得餘式的首項除以除式的首項：$$$\frac{21 x}{x} = 21$$$

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$21 \left(x+3\right) = 21 x+63$$$。

從所得結果中減去餘數：$$$\left(21 x-12\right) - \left(21 x+63\right) = -75$$$。

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&2 x^{2}&- 7 x&{\color{GoldenRod}+21}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}+3&2 x^{3}&- x^{2}&+0 x&-12&\\&-\phantom{2 x^{3}}&&&&\\&2 x^{3}&+6 x^{2}&&&\\\hline\\&&- 7 x^{2}&+0 x&-12&\\&&-\phantom{- 7 x^{2}}&&&\\&&- 7 x^{2}&- 21 x&&\\\hline\\&&&{\color{GoldenRod}21 x}&-12&\frac{{\color{GoldenRod}21 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{GoldenRod}21}\\&&&-\phantom{21 x}&&\\&&&21 x&+63&{\color{GoldenRod}21} \left(x+3\right) = 21 x+63\\\hline\\&&&&-75&\end{array}$$

由於餘式的次數小於除式的次數，我們就完成了。

結果表再次顯示如下：

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Crimson}2 x^{2}}&{\color{Violet}- 7 x}&{\color{GoldenRod}+21}&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}x}+3&{\color{Crimson}2 x^{3}}&- x^{2}&+0 x&-12&\frac{{\color{Crimson}2 x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Crimson}2 x^{2}}\\&-\phantom{2 x^{3}}&&&&\\&2 x^{3}&+6 x^{2}&&&{\color{Crimson}2 x^{2}} \left(x+3\right) = 2 x^{3}+6 x^{2}\\\hline\\&&{\color{Violet}- 7 x^{2}}&+0 x&-12&\frac{{\color{Violet}- 7 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Violet}- 7 x}\\&&-\phantom{- 7 x^{2}}&&&\\&&- 7 x^{2}&- 21 x&&{\color{Violet}- 7 x} \left(x+3\right) = - 7 x^{2}- 21 x\\\hline\\&&&{\color{GoldenRod}21 x}&-12&\frac{{\color{GoldenRod}21 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{GoldenRod}21}\\&&&-\phantom{21 x}&&\\&&&21 x&+63&{\color{GoldenRod}21} \left(x+3\right) = 21 x+63\\\hline\\&&&&-75&\end{array}$$

因此，$$$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 12}{x + 3} = \left(2 x^{2} - 7 x + 21\right) + \frac{-75}{x + 3}$$$。