將 $$$x^{3}$$$ 除以 $$$x + 2$$$

請將題目寫成特殊格式（缺少的項以零係數表示）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x+2&x^{3}+0 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

步驟 1

將被除式的首項除以除式的首項：$$$\frac{x^{3}}{x} = x^{2}$$$。

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$x^{2} \left(x+2\right) = x^{3}+2 x^{2}$$$。

從所得結果中減去被除數：$$$\left(x^{3}\right) - \left(x^{3}+2 x^{2}\right) = - 2 x^{2}$$$。

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Chartreuse}x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}+2&{\color{Chartreuse}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Chartreuse}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Chartreuse}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+2 x^{2}&&&{\color{Chartreuse}x^{2}} \left(x+2\right) = x^{3}+2 x^{2}\\\hline\\&&- 2 x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

步驟 2

將所得餘式的首項除以除式的首項：$$$\frac{- 2 x^{2}}{x} = - 2 x$$$

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$- 2 x \left(x+2\right) = - 2 x^{2}- 4 x$$$。

從所得結果中減去餘數：$$$\left(- 2 x^{2}\right) - \left(- 2 x^{2}- 4 x\right) = 4 x$$$。

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&{\color{DarkBlue}- 2 x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}+2&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+2 x^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{DarkBlue}- 2 x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkBlue}- 2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkBlue}- 2 x}\\&&-\phantom{- 2 x^{2}}&&&\\&&- 2 x^{2}&- 4 x&&{\color{DarkBlue}- 2 x} \left(x+2\right) = - 2 x^{2}- 4 x\\\hline\\&&&4 x&+0&\end{array}$$

步驟 3

將所得餘式的首項除以除式的首項：$$$\frac{4 x}{x} = 4$$$

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$4 \left(x+2\right) = 4 x+8$$$。

從所得結果中減去餘數：$$$\left(4 x\right) - \left(4 x+8\right) = -8$$$。

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&- 2 x&{\color{Red}+4}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}+2&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+2 x^{2}&&&\\\hline\\&&- 2 x^{2}&+0 x&+0&\\&&-\phantom{- 2 x^{2}}&&&\\&&- 2 x^{2}&- 4 x&&\\\hline\\&&&{\color{Red}4 x}&+0&\frac{{\color{Red}4 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Red}4}\\&&&-\phantom{4 x}&&\\&&&4 x&+8&{\color{Red}4} \left(x+2\right) = 4 x+8\\\hline\\&&&&-8&\end{array}$$

由於餘式的次數小於除式的次數，我們就完成了。

結果表再次顯示如下：

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Chartreuse}x^{2}}&{\color{DarkBlue}- 2 x}&{\color{Red}+4}&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}x}+2&{\color{Chartreuse}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Chartreuse}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Chartreuse}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+2 x^{2}&&&{\color{Chartreuse}x^{2}} \left(x+2\right) = x^{3}+2 x^{2}\\\hline\\&&{\color{DarkBlue}- 2 x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkBlue}- 2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkBlue}- 2 x}\\&&-\phantom{- 2 x^{2}}&&&\\&&- 2 x^{2}&- 4 x&&{\color{DarkBlue}- 2 x} \left(x+2\right) = - 2 x^{2}- 4 x\\\hline\\&&&{\color{Red}4 x}&+0&\frac{{\color{Red}4 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Red}4}\\&&&-\phantom{4 x}&&\\&&&4 x&+8&{\color{Red}4} \left(x+2\right) = 4 x+8\\\hline\\&&&&-8&\end{array}$$

因此，$$$\frac{x^{3}}{x + 2} = \left(x^{2} - 2 x + 4\right) + \frac{-8}{x + 2}$$$。