將 $$$x^{4}$$$ 除以 $$$x^{2} - 1$$$

請將題目寫成特殊格式（缺少的項以零係數表示）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x^{2}-1&x^{4}+0 x^{3}+0 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

步驟 1

將被除式的首項除以除式的首項：$$$\frac{x^{4}}{x^{2}} = x^{2}$$$。

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$x^{2} \left(x^{2}-1\right) = x^{4}- x^{2}$$$。

從所得結果中減去被除數：$$$\left(x^{4}\right) - \left(x^{4}- x^{2}\right) = x^{2}$$$。

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Peru}x^{2}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}-1&{\color{Peru}x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Peru}x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Peru}x^{2}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&{\color{Peru}x^{2}} \left(x^{2}-1\right) = x^{4}- x^{2}\\\hline\\&&&x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

步驟 2

將所得餘式的首項除以除式的首項：$$$\frac{x^{2}}{x^{2}} = 1$$$

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$1 \left(x^{2}-1\right) = x^{2}-1$$$。

從所得結果中減去餘數：$$$\left(x^{2}\right) - \left(x^{2}-1\right) = 1$$$。

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{2}&{\color{Brown}+1}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}-1&x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{Brown}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Brown}x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Brown}1}\\&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&x^{2}&+0 x&-1&{\color{Brown}1} \left(x^{2}-1\right) = x^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

由於餘式的次數小於除式的次數，我們就完成了。

結果表再次顯示如下：

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Peru}x^{2}}&{\color{Brown}+1}&&&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}-1&{\color{Peru}x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Peru}x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Peru}x^{2}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&{\color{Peru}x^{2}} \left(x^{2}-1\right) = x^{4}- x^{2}\\\hline\\&&&{\color{Brown}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Brown}x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Brown}1}\\&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&x^{2}&+0 x&-1&{\color{Brown}1} \left(x^{2}-1\right) = x^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

因此，$$$\frac{x^{4}}{x^{2} - 1} = \left(x^{2} + 1\right) + \frac{1}{x^{2} - 1}$$$。