將 $$$x^{6} - 1$$$ 除以 $$$x^{2} + 1$$$

請將題目寫成特殊格式（缺少的項以零係數表示）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x^{2}+1&x^{6}+0 x^{5}+0 x^{4}+0 x^{3}+0 x^{2}+0 x-1\end{array}$$$

步驟 1

將被除式的首項除以除式的首項：$$$\frac{x^{6}}{x^{2}} = x^{4}$$$。

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$x^{4} \left(x^{2}+1\right) = x^{6}+x^{4}$$$。

從所得結果中減去被除數：$$$\left(x^{6}-1\right) - \left(x^{6}+x^{4}\right) = - x^{4}-1$$$。

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&{\color{Fuchsia}x^{4}}&&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&{\color{Fuchsia}x^{6}}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\frac{{\color{Fuchsia}x^{6}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Fuchsia}x^{4}}\\&-\phantom{x^{6}}&&&&&&&\\&x^{6}&+0 x^{5}&+x^{4}&&&&&{\color{Fuchsia}x^{4}} \left(x^{2}+1\right) = x^{6}+x^{4}\\\hline\\&&&- x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\end{array}$$

步驟 2

將所得餘式的首項除以除式的首項：$$$\frac{- x^{4}}{x^{2}} = - x^{2}$$$

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$- x^{2} \left(x^{2}+1\right) = - x^{4}- x^{2}$$$。

從所得結果中減去餘數：$$$\left(- x^{4}-1\right) - \left(- x^{4}- x^{2}\right) = x^{2}-1$$$。

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&x^{4}&{\color{SaddleBrown}- x^{2}}&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\\&-\phantom{x^{6}}&&&&&&&\\&x^{6}&+0 x^{5}&+x^{4}&&&&&\\\hline\\&&&{\color{SaddleBrown}- x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\frac{{\color{SaddleBrown}- x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{SaddleBrown}- x^{2}}\\&&&-\phantom{- x^{4}}&&&&&\\&&&- x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&{\color{SaddleBrown}- x^{2}} \left(x^{2}+1\right) = - x^{4}- x^{2}\\\hline\\&&&&&x^{2}&+0 x&-1&\end{array}$$

步驟 3

將所得餘式的首項除以除式的首項：$$$\frac{x^{2}}{x^{2}} = 1$$$

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$1 \left(x^{2}+1\right) = x^{2}+1$$$。

從所得結果中減去餘數：$$$\left(x^{2}-1\right) - \left(x^{2}+1\right) = -2$$$。

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&x^{4}&- x^{2}&{\color{OrangeRed}+1}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\\&-\phantom{x^{6}}&&&&&&&\\&x^{6}&+0 x^{5}&+x^{4}&&&&&\\\hline\\&&&- x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\\&&&-\phantom{- x^{4}}&&&&&\\&&&- x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&&&&{\color{OrangeRed}x^{2}}&+0 x&-1&\frac{{\color{OrangeRed}x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{OrangeRed}1}\\&&&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&&&x^{2}&+0 x&+1&{\color{OrangeRed}1} \left(x^{2}+1\right) = x^{2}+1\\\hline\\&&&&&&&-2&\end{array}$$

由於餘式的次數小於除式的次數，我們就完成了。

結果表再次顯示如下：

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&{\color{Fuchsia}x^{4}}&{\color{SaddleBrown}- x^{2}}&{\color{OrangeRed}+1}&&&&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&{\color{Fuchsia}x^{6}}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\frac{{\color{Fuchsia}x^{6}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Fuchsia}x^{4}}\\&-\phantom{x^{6}}&&&&&&&\\&x^{6}&+0 x^{5}&+x^{4}&&&&&{\color{Fuchsia}x^{4}} \left(x^{2}+1\right) = x^{6}+x^{4}\\\hline\\&&&{\color{SaddleBrown}- x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\frac{{\color{SaddleBrown}- x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{SaddleBrown}- x^{2}}\\&&&-\phantom{- x^{4}}&&&&&\\&&&- x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&{\color{SaddleBrown}- x^{2}} \left(x^{2}+1\right) = - x^{4}- x^{2}\\\hline\\&&&&&{\color{OrangeRed}x^{2}}&+0 x&-1&\frac{{\color{OrangeRed}x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{OrangeRed}1}\\&&&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&&&x^{2}&+0 x&+1&{\color{OrangeRed}1} \left(x^{2}+1\right) = x^{2}+1\\\hline\\&&&&&&&-2&\end{array}$$

因此，$$$\frac{x^{6} - 1}{x^{2} + 1} = \left(x^{4} - x^{2} + 1\right) + \frac{-2}{x^{2} + 1}$$$。