將 $$$x^{3} - 2 x^{2}$$$ 除以 $$$x^{2} + 1$$$

請將題目寫成特殊格式（缺少的項以零係數表示）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x^{2}+1&x^{3}- 2 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

步驟 1

將被除式的首項除以除式的首項：$$$\frac{x^{3}}{x^{2}} = x$$$。

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$x \left(x^{2}+1\right) = x^{3}+x$$$。

從所得結果中減去被除數：$$$\left(x^{3}- 2 x^{2}\right) - \left(x^{3}+x\right) = - 2 x^{2}- x$$$。

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Chocolate}x}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&{\color{Chocolate}x^{3}}&- 2 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Chocolate}x^{3}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Chocolate}x}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+0 x^{2}&+x&&{\color{Chocolate}x} \left(x^{2}+1\right) = x^{3}+x\\\hline\\&&- 2 x^{2}&- x&+0&\end{array}$$

步驟 2

將所得餘式的首項除以除式的首項：$$$\frac{- 2 x^{2}}{x^{2}} = -2$$$

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$- 2 \left(x^{2}+1\right) = - 2 x^{2}-2$$$。

從所得結果中減去餘數：$$$\left(- 2 x^{2}- x\right) - \left(- 2 x^{2}-2\right) = - x+2$$$。

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x&{\color{Chartreuse}-2}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&x^{3}&- 2 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+0 x^{2}&+x&&\\\hline\\&&{\color{Chartreuse}- 2 x^{2}}&- x&+0&\frac{{\color{Chartreuse}- 2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Chartreuse}-2}\\&&-\phantom{- 2 x^{2}}&&&\\&&- 2 x^{2}&+0 x&-2&{\color{Chartreuse}-2} \left(x^{2}+1\right) = - 2 x^{2}-2\\\hline\\&&&- x&+2&\end{array}$$

由於餘式的次數小於除式的次數，我們就完成了。

結果表再次顯示如下：

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Chocolate}x}&{\color{Chartreuse}-2}&&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&{\color{Chocolate}x^{3}}&- 2 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Chocolate}x^{3}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Chocolate}x}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+0 x^{2}&+x&&{\color{Chocolate}x} \left(x^{2}+1\right) = x^{3}+x\\\hline\\&&{\color{Chartreuse}- 2 x^{2}}&- x&+0&\frac{{\color{Chartreuse}- 2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Chartreuse}-2}\\&&-\phantom{- 2 x^{2}}&&&\\&&- 2 x^{2}&+0 x&-2&{\color{Chartreuse}-2} \left(x^{2}+1\right) = - 2 x^{2}-2\\\hline\\&&&- x&+2&\end{array}$$

因此，$$$\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x^{2} + 1} = \left(x - 2\right) + \frac{2 - x}{x^{2} + 1}$$$。