將 $$$x^{3}$$$ 除以 $$$x^{2} + 1$$$

請將題目寫成特殊格式（缺少的項以零係數表示）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x^{2}+1&x^{3}+0 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

步驟 1

將被除式的首項除以除式的首項：$$$\frac{x^{3}}{x^{2}} = x$$$。

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$x \left(x^{2}+1\right) = x^{3}+x$$$。

從所得結果中減去被除數：$$$\left(x^{3}\right) - \left(x^{3}+x\right) = - x$$$。

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Brown}x}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&{\color{Brown}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Brown}x^{3}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Brown}x}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+0 x^{2}&+x&&{\color{Brown}x} \left(x^{2}+1\right) = x^{3}+x\\\hline\\&&&- x&+0&\end{array}$$

由於餘式的次數小於除式的次數，我們就完成了。

結果表再次顯示如下：

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Brown}x}&&&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&{\color{Brown}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Brown}x^{3}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Brown}x}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+0 x^{2}&+x&&{\color{Brown}x} \left(x^{2}+1\right) = x^{3}+x\\\hline\\&&&- x&+0&\end{array}$$

因此，$$$\frac{x^{3}}{x^{2} + 1} = x + \frac{- x}{x^{2} + 1}$$$。