將 $$$5 x^{9} - 4 x^{2} + 2$$$ 除以 $$$5 x + 10$$$

請將題目寫成特殊格式（缺少的項以零係數表示）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\5 x+10&5 x^{9}+0 x^{8}+0 x^{7}+0 x^{6}+0 x^{5}+0 x^{4}+0 x^{3}- 4 x^{2}+0 x+2\end{array}$$$

步驟 1

將被除式的首項除以除式的首項：$$$\frac{5 x^{9}}{5 x} = x^{8}$$$。

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$x^{8} \left(5 x+10\right) = 5 x^{9}+10 x^{8}$$$。

從所得結果中減去被除數：$$$\left(5 x^{9}- 4 x^{2}+2\right) - \left(5 x^{9}+10 x^{8}\right) = - 10 x^{8}- 4 x^{2}+2$$$。

$$\begin{array}{r|rrrrrrrrrr:c}&{\color{Chartreuse}x^{8}}&&&&&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}5 x}+10&{\color{Chartreuse}5 x^{9}}&+0 x^{8}&+0 x^{7}&+0 x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\frac{{\color{Chartreuse}5 x^{9}}}{{\color{Magenta}5 x}} = {\color{Chartreuse}x^{8}}\\&-\phantom{5 x^{9}}&&&&&&&&&&\\&5 x^{9}&+10 x^{8}&&&&&&&&&{\color{Chartreuse}x^{8}} \left(5 x+10\right) = 5 x^{9}+10 x^{8}\\\hline\\&&- 10 x^{8}&+0 x^{7}&+0 x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\end{array}$$

步驟 2

將所得餘式的首項除以除式的首項：$$$\frac{- 10 x^{8}}{5 x} = - 2 x^{7}$$$

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$- 2 x^{7} \left(5 x+10\right) = - 10 x^{8}- 20 x^{7}$$$。

從所得結果中減去餘數：$$$\left(- 10 x^{8}- 4 x^{2}+2\right) - \left(- 10 x^{8}- 20 x^{7}\right) = 20 x^{7}- 4 x^{2}+2$$$。

$$\begin{array}{r|rrrrrrrrrr:c}&x^{8}&{\color{Crimson}- 2 x^{7}}&&&&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}5 x}+10&5 x^{9}&+0 x^{8}&+0 x^{7}&+0 x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\\&-\phantom{5 x^{9}}&&&&&&&&&&\\&5 x^{9}&+10 x^{8}&&&&&&&&&\\\hline\\&&{\color{Crimson}- 10 x^{8}}&+0 x^{7}&+0 x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\frac{{\color{Crimson}- 10 x^{8}}}{{\color{Magenta}5 x}} = {\color{Crimson}- 2 x^{7}}\\&&-\phantom{- 10 x^{8}}&&&&&&&&&\\&&- 10 x^{8}&- 20 x^{7}&&&&&&&&{\color{Crimson}- 2 x^{7}} \left(5 x+10\right) = - 10 x^{8}- 20 x^{7}\\\hline\\&&&20 x^{7}&+0 x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\end{array}$$

步驟 3

將所得餘式的首項除以除式的首項：$$$\frac{20 x^{7}}{5 x} = 4 x^{6}$$$

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$4 x^{6} \left(5 x+10\right) = 20 x^{7}+40 x^{6}$$$。

從所得結果中減去餘數：$$$\left(20 x^{7}- 4 x^{2}+2\right) - \left(20 x^{7}+40 x^{6}\right) = - 40 x^{6}- 4 x^{2}+2$$$。

$$\begin{array}{r|rrrrrrrrrr:c}&x^{8}&- 2 x^{7}&{\color{Red}+4 x^{6}}&&&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}5 x}+10&5 x^{9}&+0 x^{8}&+0 x^{7}&+0 x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\\&-\phantom{5 x^{9}}&&&&&&&&&&\\&5 x^{9}&+10 x^{8}&&&&&&&&&\\\hline\\&&- 10 x^{8}&+0 x^{7}&+0 x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\\&&-\phantom{- 10 x^{8}}&&&&&&&&&\\&&- 10 x^{8}&- 20 x^{7}&&&&&&&&\\\hline\\&&&{\color{Red}20 x^{7}}&+0 x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\frac{{\color{Red}20 x^{7}}}{{\color{Magenta}5 x}} = {\color{Red}4 x^{6}}\\&&&-\phantom{20 x^{7}}&&&&&&&&\\&&&20 x^{7}&+40 x^{6}&&&&&&&{\color{Red}4 x^{6}} \left(5 x+10\right) = 20 x^{7}+40 x^{6}\\\hline\\&&&&- 40 x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\end{array}$$

步驟 4

將所得餘式的首項除以除式的首項：$$$\frac{- 40 x^{6}}{5 x} = - 8 x^{5}$$$

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$- 8 x^{5} \left(5 x+10\right) = - 40 x^{6}- 80 x^{5}$$$。

從所得結果中減去餘數：$$$\left(- 40 x^{6}- 4 x^{2}+2\right) - \left(- 40 x^{6}- 80 x^{5}\right) = 80 x^{5}- 4 x^{2}+2$$$。

$$\begin{array}{r|rrrrrrrrrr:c}&x^{8}&- 2 x^{7}&+4 x^{6}&{\color{Chocolate}- 8 x^{5}}&&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}5 x}+10&5 x^{9}&+0 x^{8}&+0 x^{7}&+0 x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\\&-\phantom{5 x^{9}}&&&&&&&&&&\\&5 x^{9}&+10 x^{8}&&&&&&&&&\\\hline\\&&- 10 x^{8}&+0 x^{7}&+0 x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\\&&-\phantom{- 10 x^{8}}&&&&&&&&&\\&&- 10 x^{8}&- 20 x^{7}&&&&&&&&\\\hline\\&&&20 x^{7}&+0 x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\\&&&-\phantom{20 x^{7}}&&&&&&&&\\&&&20 x^{7}&+40 x^{6}&&&&&&&\\\hline\\&&&&{\color{Chocolate}- 40 x^{6}}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\frac{{\color{Chocolate}- 40 x^{6}}}{{\color{Magenta}5 x}} = {\color{Chocolate}- 8 x^{5}}\\&&&&-\phantom{- 40 x^{6}}&&&&&&&\\&&&&- 40 x^{6}&- 80 x^{5}&&&&&&{\color{Chocolate}- 8 x^{5}} \left(5 x+10\right) = - 40 x^{6}- 80 x^{5}\\\hline\\&&&&&80 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\end{array}$$

步驟 5

將所得餘式的首項除以除式的首項：$$$\frac{80 x^{5}}{5 x} = 16 x^{4}$$$

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$16 x^{4} \left(5 x+10\right) = 80 x^{5}+160 x^{4}$$$。

從所得結果中減去餘數：$$$\left(80 x^{5}- 4 x^{2}+2\right) - \left(80 x^{5}+160 x^{4}\right) = - 160 x^{4}- 4 x^{2}+2$$$。

$$\begin{array}{r|rrrrrrrrrr:c}&x^{8}&- 2 x^{7}&+4 x^{6}&- 8 x^{5}&{\color{DarkMagenta}+16 x^{4}}&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}5 x}+10&5 x^{9}&+0 x^{8}&+0 x^{7}&+0 x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\\&-\phantom{5 x^{9}}&&&&&&&&&&\\&5 x^{9}&+10 x^{8}&&&&&&&&&\\\hline\\&&- 10 x^{8}&+0 x^{7}&+0 x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\\&&-\phantom{- 10 x^{8}}&&&&&&&&&\\&&- 10 x^{8}&- 20 x^{7}&&&&&&&&\\\hline\\&&&20 x^{7}&+0 x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\\&&&-\phantom{20 x^{7}}&&&&&&&&\\&&&20 x^{7}&+40 x^{6}&&&&&&&\\\hline\\&&&&- 40 x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\\&&&&-\phantom{- 40 x^{6}}&&&&&&&\\&&&&- 40 x^{6}&- 80 x^{5}&&&&&&\\\hline\\&&&&&{\color{DarkMagenta}80 x^{5}}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\frac{{\color{DarkMagenta}80 x^{5}}}{{\color{Magenta}5 x}} = {\color{DarkMagenta}16 x^{4}}\\&&&&&-\phantom{80 x^{5}}&&&&&&\\&&&&&80 x^{5}&+160 x^{4}&&&&&{\color{DarkMagenta}16 x^{4}} \left(5 x+10\right) = 80 x^{5}+160 x^{4}\\\hline\\&&&&&&- 160 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\end{array}$$

步驟 6

將所得餘式的首項除以除式的首項：$$$\frac{- 160 x^{4}}{5 x} = - 32 x^{3}$$$

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$- 32 x^{3} \left(5 x+10\right) = - 160 x^{4}- 320 x^{3}$$$。

從所得結果中減去餘數：$$$\left(- 160 x^{4}- 4 x^{2}+2\right) - \left(- 160 x^{4}- 320 x^{3}\right) = 320 x^{3}- 4 x^{2}+2$$$。

$$\begin{array}{r|rrrrrrrrrr:c}&x^{8}&- 2 x^{7}&+4 x^{6}&- 8 x^{5}&+16 x^{4}&{\color{DarkBlue}- 32 x^{3}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}5 x}+10&5 x^{9}&+0 x^{8}&+0 x^{7}&+0 x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\\&-\phantom{5 x^{9}}&&&&&&&&&&\\&5 x^{9}&+10 x^{8}&&&&&&&&&\\\hline\\&&- 10 x^{8}&+0 x^{7}&+0 x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\\&&-\phantom{- 10 x^{8}}&&&&&&&&&\\&&- 10 x^{8}&- 20 x^{7}&&&&&&&&\\\hline\\&&&20 x^{7}&+0 x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\\&&&-\phantom{20 x^{7}}&&&&&&&&\\&&&20 x^{7}&+40 x^{6}&&&&&&&\\\hline\\&&&&- 40 x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\\&&&&-\phantom{- 40 x^{6}}&&&&&&&\\&&&&- 40 x^{6}&- 80 x^{5}&&&&&&\\\hline\\&&&&&80 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\\&&&&&-\phantom{80 x^{5}}&&&&&&\\&&&&&80 x^{5}&+160 x^{4}&&&&&\\\hline\\&&&&&&{\color{DarkBlue}- 160 x^{4}}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\frac{{\color{DarkBlue}- 160 x^{4}}}{{\color{Magenta}5 x}} = {\color{DarkBlue}- 32 x^{3}}\\&&&&&&-\phantom{- 160 x^{4}}&&&&&\\&&&&&&- 160 x^{4}&- 320 x^{3}&&&&{\color{DarkBlue}- 32 x^{3}} \left(5 x+10\right) = - 160 x^{4}- 320 x^{3}\\\hline\\&&&&&&&320 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\end{array}$$

步驟 7

將所得餘式的首項除以除式的首項：$$$\frac{320 x^{3}}{5 x} = 64 x^{2}$$$

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$64 x^{2} \left(5 x+10\right) = 320 x^{3}+640 x^{2}$$$。

從所得結果中減去餘數：$$$\left(320 x^{3}- 4 x^{2}+2\right) - \left(320 x^{3}+640 x^{2}\right) = - 644 x^{2}+2$$$。

$$\begin{array}{r|rrrrrrrrrr:c}&x^{8}&- 2 x^{7}&+4 x^{6}&- 8 x^{5}&+16 x^{4}&- 32 x^{3}&{\color{Violet}+64 x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}5 x}+10&5 x^{9}&+0 x^{8}&+0 x^{7}&+0 x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\\&-\phantom{5 x^{9}}&&&&&&&&&&\\&5 x^{9}&+10 x^{8}&&&&&&&&&\\\hline\\&&- 10 x^{8}&+0 x^{7}&+0 x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\\&&-\phantom{- 10 x^{8}}&&&&&&&&&\\&&- 10 x^{8}&- 20 x^{7}&&&&&&&&\\\hline\\&&&20 x^{7}&+0 x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\\&&&-\phantom{20 x^{7}}&&&&&&&&\\&&&20 x^{7}&+40 x^{6}&&&&&&&\\\hline\\&&&&- 40 x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\\&&&&-\phantom{- 40 x^{6}}&&&&&&&\\&&&&- 40 x^{6}&- 80 x^{5}&&&&&&\\\hline\\&&&&&80 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\\&&&&&-\phantom{80 x^{5}}&&&&&&\\&&&&&80 x^{5}&+160 x^{4}&&&&&\\\hline\\&&&&&&- 160 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\\&&&&&&-\phantom{- 160 x^{4}}&&&&&\\&&&&&&- 160 x^{4}&- 320 x^{3}&&&&\\\hline\\&&&&&&&{\color{Violet}320 x^{3}}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\frac{{\color{Violet}320 x^{3}}}{{\color{Magenta}5 x}} = {\color{Violet}64 x^{2}}\\&&&&&&&-\phantom{320 x^{3}}&&&&\\&&&&&&&320 x^{3}&+640 x^{2}&&&{\color{Violet}64 x^{2}} \left(5 x+10\right) = 320 x^{3}+640 x^{2}\\\hline\\&&&&&&&&- 644 x^{2}&+0 x&+2&\end{array}$$

步驟 8

將所得餘式的首項除以除式的首項：$$$\frac{- 644 x^{2}}{5 x} = - \frac{644 x}{5}$$$

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$- \frac{644 x}{5} \left(5 x+10\right) = - 644 x^{2}- 1288 x$$$。

從所得結果中減去餘數：$$$\left(- 644 x^{2}+2\right) - \left(- 644 x^{2}- 1288 x\right) = 1288 x+2$$$。

$$\begin{array}{r|rrrrrrrrrr:c}&x^{8}&- 2 x^{7}&+4 x^{6}&- 8 x^{5}&+16 x^{4}&- 32 x^{3}&+64 x^{2}&{\color{Purple}- \frac{644 x}{5}}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}5 x}+10&5 x^{9}&+0 x^{8}&+0 x^{7}&+0 x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\\&-\phantom{5 x^{9}}&&&&&&&&&&\\&5 x^{9}&+10 x^{8}&&&&&&&&&\\\hline\\&&- 10 x^{8}&+0 x^{7}&+0 x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\\&&-\phantom{- 10 x^{8}}&&&&&&&&&\\&&- 10 x^{8}&- 20 x^{7}&&&&&&&&\\\hline\\&&&20 x^{7}&+0 x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\\&&&-\phantom{20 x^{7}}&&&&&&&&\\&&&20 x^{7}&+40 x^{6}&&&&&&&\\\hline\\&&&&- 40 x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\\&&&&-\phantom{- 40 x^{6}}&&&&&&&\\&&&&- 40 x^{6}&- 80 x^{5}&&&&&&\\\hline\\&&&&&80 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\\&&&&&-\phantom{80 x^{5}}&&&&&&\\&&&&&80 x^{5}&+160 x^{4}&&&&&\\\hline\\&&&&&&- 160 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\\&&&&&&-\phantom{- 160 x^{4}}&&&&&\\&&&&&&- 160 x^{4}&- 320 x^{3}&&&&\\\hline\\&&&&&&&320 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\\&&&&&&&-\phantom{320 x^{3}}&&&&\\&&&&&&&320 x^{3}&+640 x^{2}&&&\\\hline\\&&&&&&&&{\color{Purple}- 644 x^{2}}&+0 x&+2&\frac{{\color{Purple}- 644 x^{2}}}{{\color{Magenta}5 x}} = {\color{Purple}- \frac{644 x}{5}}\\&&&&&&&&-\phantom{- 644 x^{2}}&&&\\&&&&&&&&- 644 x^{2}&- 1288 x&&{\color{Purple}- \frac{644 x}{5}} \left(5 x+10\right) = - 644 x^{2}- 1288 x\\\hline\\&&&&&&&&&1288 x&+2&\end{array}$$

步驟 9

將所得餘式的首項除以除式的首項：$$$\frac{1288 x}{5 x} = \frac{1288}{5}$$$

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$\frac{1288 \left(5 x+10\right)}{5} = 1288 x+2576$$$。

從所得結果中減去餘數：$$$\left(1288 x+2\right) - \left(1288 x+2576\right) = -2574$$$。

$$\begin{array}{r|rrrrrrrrrr:c}&x^{8}&- 2 x^{7}&+4 x^{6}&- 8 x^{5}&+16 x^{4}&- 32 x^{3}&+64 x^{2}&- \frac{644 x}{5}&{\color{SaddleBrown}+\frac{1288}{5}}&&\\\hline\\{\color{Magenta}5 x}+10&5 x^{9}&+0 x^{8}&+0 x^{7}&+0 x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\\&-\phantom{5 x^{9}}&&&&&&&&&&\\&5 x^{9}&+10 x^{8}&&&&&&&&&\\\hline\\&&- 10 x^{8}&+0 x^{7}&+0 x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\\&&-\phantom{- 10 x^{8}}&&&&&&&&&\\&&- 10 x^{8}&- 20 x^{7}&&&&&&&&\\\hline\\&&&20 x^{7}&+0 x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\\&&&-\phantom{20 x^{7}}&&&&&&&&\\&&&20 x^{7}&+40 x^{6}&&&&&&&\\\hline\\&&&&- 40 x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\\&&&&-\phantom{- 40 x^{6}}&&&&&&&\\&&&&- 40 x^{6}&- 80 x^{5}&&&&&&\\\hline\\&&&&&80 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\\&&&&&-\phantom{80 x^{5}}&&&&&&\\&&&&&80 x^{5}&+160 x^{4}&&&&&\\\hline\\&&&&&&- 160 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\\&&&&&&-\phantom{- 160 x^{4}}&&&&&\\&&&&&&- 160 x^{4}&- 320 x^{3}&&&&\\\hline\\&&&&&&&320 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\\&&&&&&&-\phantom{320 x^{3}}&&&&\\&&&&&&&320 x^{3}&+640 x^{2}&&&\\\hline\\&&&&&&&&- 644 x^{2}&+0 x&+2&\\&&&&&&&&-\phantom{- 644 x^{2}}&&&\\&&&&&&&&- 644 x^{2}&- 1288 x&&\\\hline\\&&&&&&&&&{\color{SaddleBrown}1288 x}&+2&\frac{{\color{SaddleBrown}1288 x}}{{\color{Magenta}5 x}} = {\color{SaddleBrown}\frac{1288}{5}}\\&&&&&&&&&-\phantom{1288 x}&&\\&&&&&&&&&1288 x&+2576&{\color{SaddleBrown}\frac{1288}{5}} \left(5 x+10\right) = 1288 x+2576\\\hline\\&&&&&&&&&&-2574&\end{array}$$

由於餘式的次數小於除式的次數，我們就完成了。

結果表再次顯示如下：

$$\begin{array}{r|rrrrrrrrrr:c}&{\color{Chartreuse}x^{8}}&{\color{Crimson}- 2 x^{7}}&{\color{Red}+4 x^{6}}&{\color{Chocolate}- 8 x^{5}}&{\color{DarkMagenta}+16 x^{4}}&{\color{DarkBlue}- 32 x^{3}}&{\color{Violet}+64 x^{2}}&{\color{Purple}- \frac{644 x}{5}}&{\color{SaddleBrown}+\frac{1288}{5}}&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}5 x}+10&{\color{Chartreuse}5 x^{9}}&+0 x^{8}&+0 x^{7}&+0 x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\frac{{\color{Chartreuse}5 x^{9}}}{{\color{Magenta}5 x}} = {\color{Chartreuse}x^{8}}\\&-\phantom{5 x^{9}}&&&&&&&&&&\\&5 x^{9}&+10 x^{8}&&&&&&&&&{\color{Chartreuse}x^{8}} \left(5 x+10\right) = 5 x^{9}+10 x^{8}\\\hline\\&&{\color{Crimson}- 10 x^{8}}&+0 x^{7}&+0 x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\frac{{\color{Crimson}- 10 x^{8}}}{{\color{Magenta}5 x}} = {\color{Crimson}- 2 x^{7}}\\&&-\phantom{- 10 x^{8}}&&&&&&&&&\\&&- 10 x^{8}&- 20 x^{7}&&&&&&&&{\color{Crimson}- 2 x^{7}} \left(5 x+10\right) = - 10 x^{8}- 20 x^{7}\\\hline\\&&&{\color{Red}20 x^{7}}&+0 x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\frac{{\color{Red}20 x^{7}}}{{\color{Magenta}5 x}} = {\color{Red}4 x^{6}}\\&&&-\phantom{20 x^{7}}&&&&&&&&\\&&&20 x^{7}&+40 x^{6}&&&&&&&{\color{Red}4 x^{6}} \left(5 x+10\right) = 20 x^{7}+40 x^{6}\\\hline\\&&&&{\color{Chocolate}- 40 x^{6}}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\frac{{\color{Chocolate}- 40 x^{6}}}{{\color{Magenta}5 x}} = {\color{Chocolate}- 8 x^{5}}\\&&&&-\phantom{- 40 x^{6}}&&&&&&&\\&&&&- 40 x^{6}&- 80 x^{5}&&&&&&{\color{Chocolate}- 8 x^{5}} \left(5 x+10\right) = - 40 x^{6}- 80 x^{5}\\\hline\\&&&&&{\color{DarkMagenta}80 x^{5}}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\frac{{\color{DarkMagenta}80 x^{5}}}{{\color{Magenta}5 x}} = {\color{DarkMagenta}16 x^{4}}\\&&&&&-\phantom{80 x^{5}}&&&&&&\\&&&&&80 x^{5}&+160 x^{4}&&&&&{\color{DarkMagenta}16 x^{4}} \left(5 x+10\right) = 80 x^{5}+160 x^{4}\\\hline\\&&&&&&{\color{DarkBlue}- 160 x^{4}}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\frac{{\color{DarkBlue}- 160 x^{4}}}{{\color{Magenta}5 x}} = {\color{DarkBlue}- 32 x^{3}}\\&&&&&&-\phantom{- 160 x^{4}}&&&&&\\&&&&&&- 160 x^{4}&- 320 x^{3}&&&&{\color{DarkBlue}- 32 x^{3}} \left(5 x+10\right) = - 160 x^{4}- 320 x^{3}\\\hline\\&&&&&&&{\color{Violet}320 x^{3}}&- 4 x^{2}&+0 x&+2&\frac{{\color{Violet}320 x^{3}}}{{\color{Magenta}5 x}} = {\color{Violet}64 x^{2}}\\&&&&&&&-\phantom{320 x^{3}}&&&&\\&&&&&&&320 x^{3}&+640 x^{2}&&&{\color{Violet}64 x^{2}} \left(5 x+10\right) = 320 x^{3}+640 x^{2}\\\hline\\&&&&&&&&{\color{Purple}- 644 x^{2}}&+0 x&+2&\frac{{\color{Purple}- 644 x^{2}}}{{\color{Magenta}5 x}} = {\color{Purple}- \frac{644 x}{5}}\\&&&&&&&&-\phantom{- 644 x^{2}}&&&\\&&&&&&&&- 644 x^{2}&- 1288 x&&{\color{Purple}- \frac{644 x}{5}} \left(5 x+10\right) = - 644 x^{2}- 1288 x\\\hline\\&&&&&&&&&{\color{SaddleBrown}1288 x}&+2&\frac{{\color{SaddleBrown}1288 x}}{{\color{Magenta}5 x}} = {\color{SaddleBrown}\frac{1288}{5}}\\&&&&&&&&&-\phantom{1288 x}&&\\&&&&&&&&&1288 x&+2576&{\color{SaddleBrown}\frac{1288}{5}} \left(5 x+10\right) = 1288 x+2576\\\hline\\&&&&&&&&&&-2574&\end{array}$$

因此，$$$\frac{5 x^{9} - 4 x^{2} + 2}{5 x + 10} = \left(x^{8} - 2 x^{7} + 4 x^{6} - 8 x^{5} + 16 x^{4} - 32 x^{3} + 64 x^{2} - \frac{644 x}{5} + \frac{1288}{5}\right) + \frac{-2574}{5 x + 10}$$$。