將 $$$x^{3} - 1$$$ 除以 $$$1 - x^{2}$$$

請將題目寫成特殊格式（缺少的項以零係數表示）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\- x^{2}+1&x^{3}+0 x^{2}+0 x-1\end{array}$$$

步驟 1

將被除式的首項除以除式的首項：$$$\frac{x^{3}}{- x^{2}} = - x$$$。

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$- x \left(- x^{2}+1\right) = x^{3}- x$$$。

從所得結果中減去被除數：$$$\left(x^{3}-1\right) - \left(x^{3}- x\right) = x-1$$$。

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Fuchsia}- x}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}- x^{2}}+1&{\color{Fuchsia}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\frac{{\color{Fuchsia}x^{3}}}{{\color{Magenta}- x^{2}}} = {\color{Fuchsia}- x}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+0 x^{2}&- x&&{\color{Fuchsia}- x} \left(- x^{2}+1\right) = x^{3}- x\\\hline\\&&&x&-1&\end{array}$$

由於餘式的次數小於除式的次數，我們就完成了。

結果表再次顯示如下：

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Fuchsia}- x}&&&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}- x^{2}}+1&{\color{Fuchsia}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\frac{{\color{Fuchsia}x^{3}}}{{\color{Magenta}- x^{2}}} = {\color{Fuchsia}- x}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+0 x^{2}&- x&&{\color{Fuchsia}- x} \left(- x^{2}+1\right) = x^{3}- x\\\hline\\&&&x&-1&\end{array}$$

因此，$$$\frac{x^{3} - 1}{1 - x^{2}} = - x + \frac{x - 1}{1 - x^{2}}$$$。