將 $$$y^{3}$$$ 除以 $$$1 - y$$$

請將題目寫成特殊格式（缺少的項以零係數表示）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\- y+1&y^{3}+0 y^{2}+0 y+0\end{array}$$$

步驟 1

將被除式的首項除以除式的首項：$$$\frac{y^{3}}{- y} = - y^{2}$$$。

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$- y^{2} \left(- y+1\right) = y^{3}- y^{2}$$$。

從所得結果中減去被除數：$$$\left(y^{3}\right) - \left(y^{3}- y^{2}\right) = y^{2}$$$。

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Brown}- y^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&{\color{Brown}y^{3}}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\frac{{\color{Brown}y^{3}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Brown}- y^{2}}\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&{\color{Brown}- y^{2}} \left(- y+1\right) = y^{3}- y^{2}\\\hline\\&&y^{2}&+0 y&+0&\end{array}$$

步驟 2

將所得餘式的首項除以除式的首項：$$$\frac{y^{2}}{- y} = - y$$$

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$- y \left(- y+1\right) = y^{2}- y$$$。

從所得結果中減去餘數：$$$\left(y^{2}\right) - \left(y^{2}- y\right) = y$$$。

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&- y^{2}&{\color{Crimson}- y}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&y^{3}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{Crimson}y^{2}}&+0 y&+0&\frac{{\color{Crimson}y^{2}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Crimson}- y}\\&&-\phantom{y^{2}}&&&\\&&y^{2}&- y&&{\color{Crimson}- y} \left(- y+1\right) = y^{2}- y\\\hline\\&&&y&+0&\end{array}$$

步驟 3

將所得餘式的首項除以除式的首項：$$$\frac{y}{- y} = -1$$$

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$- \left(- y+1\right) = y-1$$$。

從所得結果中減去餘數：$$$\left(y\right) - \left(y-1\right) = 1$$$。

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&- y^{2}&- y&{\color{Purple}-1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&y^{3}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&\\\hline\\&&y^{2}&+0 y&+0&\\&&-\phantom{y^{2}}&&&\\&&y^{2}&- y&&\\\hline\\&&&{\color{Purple}y}&+0&\frac{{\color{Purple}y}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Purple}-1}\\&&&-\phantom{y}&&\\&&&y&-1&{\color{Purple}-1} \left(- y+1\right) = y-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

由於餘式的次數小於除式的次數，我們就完成了。

結果表再次顯示如下：

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Brown}- y^{2}}&{\color{Crimson}- y}&{\color{Purple}-1}&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&{\color{Brown}y^{3}}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\frac{{\color{Brown}y^{3}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Brown}- y^{2}}\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&{\color{Brown}- y^{2}} \left(- y+1\right) = y^{3}- y^{2}\\\hline\\&&{\color{Crimson}y^{2}}&+0 y&+0&\frac{{\color{Crimson}y^{2}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Crimson}- y}\\&&-\phantom{y^{2}}&&&\\&&y^{2}&- y&&{\color{Crimson}- y} \left(- y+1\right) = y^{2}- y\\\hline\\&&&{\color{Purple}y}&+0&\frac{{\color{Purple}y}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Purple}-1}\\&&&-\phantom{y}&&\\&&&y&-1&{\color{Purple}-1} \left(- y+1\right) = y-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

因此，$$$\frac{y^{3}}{1 - y} = \left(- y^{2} - y - 1\right) + \frac{1}{1 - y}$$$。