將 $$$x^{2}$$$ 除以 $$$1 - x$$$

請將題目寫成特殊格式（缺少的項以零係數表示）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\- x+1&x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

步驟 1

將被除式的首項除以除式的首項：$$$\frac{x^{2}}{- x} = - x$$$。

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$- x \left(- x+1\right) = x^{2}- x$$$。

從所得結果中減去被除數：$$$\left(x^{2}\right) - \left(x^{2}- x\right) = x$$$。

$$\begin{array}{r|rrr:c}&{\color{Blue}- x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}- x}+1&{\color{Blue}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Blue}x^{2}}}{{\color{Magenta}- x}} = {\color{Blue}- x}\\&-\phantom{x^{2}}&&&\\&x^{2}&- x&&{\color{Blue}- x} \left(- x+1\right) = x^{2}- x\\\hline\\&&x&+0&\end{array}$$

步驟 2

將所得餘式的首項除以除式的首項：$$$\frac{x}{- x} = -1$$$

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$- \left(- x+1\right) = x-1$$$。

從所得結果中減去餘數：$$$\left(x\right) - \left(x-1\right) = 1$$$。

$$\begin{array}{r|rrr:c}&- x&{\color{Chocolate}-1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}- x}+1&x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{2}}&&&\\&x^{2}&- x&&\\\hline\\&&{\color{Chocolate}x}&+0&\frac{{\color{Chocolate}x}}{{\color{Magenta}- x}} = {\color{Chocolate}-1}\\&&-\phantom{x}&&\\&&x&-1&{\color{Chocolate}-1} \left(- x+1\right) = x-1\\\hline\\&&&1&\end{array}$$

由於餘式的次數小於除式的次數，我們就完成了。

結果表再次顯示如下：

$$\begin{array}{r|rrr:c}&{\color{Blue}- x}&{\color{Chocolate}-1}&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}- x}+1&{\color{Blue}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Blue}x^{2}}}{{\color{Magenta}- x}} = {\color{Blue}- x}\\&-\phantom{x^{2}}&&&\\&x^{2}&- x&&{\color{Blue}- x} \left(- x+1\right) = x^{2}- x\\\hline\\&&{\color{Chocolate}x}&+0&\frac{{\color{Chocolate}x}}{{\color{Magenta}- x}} = {\color{Chocolate}-1}\\&&-\phantom{x}&&\\&&x&-1&{\color{Chocolate}-1} \left(- x+1\right) = x-1\\\hline\\&&&1&\end{array}$$

因此，$$$\frac{x^{2}}{1 - x} = \left(- x - 1\right) + \frac{1}{1 - x}$$$。