將 $$$u^{2}$$$ 除以 $$$1 - u$$$

請將題目寫成特殊格式（缺少的項以零係數表示）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\- u+1&u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

步驟 1

將被除式的首項除以除式的首項：$$$\frac{u^{2}}{- u} = - u$$$。

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$- u \left(- u+1\right) = u^{2}- u$$$。

從所得結果中減去被除數：$$$\left(u^{2}\right) - \left(u^{2}- u\right) = u$$$。

$$\begin{array}{r|rrr:c}&{\color{DarkCyan}- u}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}- u}+1&{\color{DarkCyan}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{DarkCyan}u^{2}}}{{\color{Magenta}- u}} = {\color{DarkCyan}- u}\\&-\phantom{u^{2}}&&&\\&u^{2}&- u&&{\color{DarkCyan}- u} \left(- u+1\right) = u^{2}- u\\\hline\\&&u&+0&\end{array}$$

步驟 2

將所得餘式的首項除以除式的首項：$$$\frac{u}{- u} = -1$$$

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$- \left(- u+1\right) = u-1$$$。

從所得結果中減去餘數：$$$\left(u\right) - \left(u-1\right) = 1$$$。

$$\begin{array}{r|rrr:c}&- u&{\color{Peru}-1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}- u}+1&u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{2}}&&&\\&u^{2}&- u&&\\\hline\\&&{\color{Peru}u}&+0&\frac{{\color{Peru}u}}{{\color{Magenta}- u}} = {\color{Peru}-1}\\&&-\phantom{u}&&\\&&u&-1&{\color{Peru}-1} \left(- u+1\right) = u-1\\\hline\\&&&1&\end{array}$$

由於餘式的次數小於除式的次數，我們就完成了。

結果表再次顯示如下：

$$\begin{array}{r|rrr:c}&{\color{DarkCyan}- u}&{\color{Peru}-1}&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}- u}+1&{\color{DarkCyan}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{DarkCyan}u^{2}}}{{\color{Magenta}- u}} = {\color{DarkCyan}- u}\\&-\phantom{u^{2}}&&&\\&u^{2}&- u&&{\color{DarkCyan}- u} \left(- u+1\right) = u^{2}- u\\\hline\\&&{\color{Peru}u}&+0&\frac{{\color{Peru}u}}{{\color{Magenta}- u}} = {\color{Peru}-1}\\&&-\phantom{u}&&\\&&u&-1&{\color{Peru}-1} \left(- u+1\right) = u-1\\\hline\\&&&1&\end{array}$$

因此，$$$\frac{u^{2}}{1 - u} = \left(- u - 1\right) + \frac{1}{1 - u}$$$。