將 $$$v^{4}$$$ 除以 $$$v^{2} + 1$$$

請將題目寫成特殊格式（缺少的項以零係數表示）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\v^{2}+1&v^{4}+0 v^{3}+0 v^{2}+0 v+0\end{array}$$$

步驟 1

將被除式的首項除以除式的首項：$$$\frac{v^{4}}{v^{2}} = v^{2}$$$。

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$v^{2} \left(v^{2}+1\right) = v^{4}+v^{2}$$$。

從所得結果中減去被除數：$$$\left(v^{4}\right) - \left(v^{4}+v^{2}\right) = - v^{2}$$$。

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Red}v^{2}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}v^{2}}+1&{\color{Red}v^{4}}&+0 v^{3}&+0 v^{2}&+0 v&+0&\frac{{\color{Red}v^{4}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{Red}v^{2}}\\&-\phantom{v^{4}}&&&&&\\&v^{4}&+0 v^{3}&+v^{2}&&&{\color{Red}v^{2}} \left(v^{2}+1\right) = v^{4}+v^{2}\\\hline\\&&&- v^{2}&+0 v&+0&\end{array}$$

步驟 2

將所得餘式的首項除以除式的首項：$$$\frac{- v^{2}}{v^{2}} = -1$$$

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$- \left(v^{2}+1\right) = - v^{2}-1$$$。

從所得結果中減去餘數：$$$\left(- v^{2}\right) - \left(- v^{2}-1\right) = 1$$$。

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&v^{2}&{\color{BlueViolet}-1}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}v^{2}}+1&v^{4}&+0 v^{3}&+0 v^{2}&+0 v&+0&\\&-\phantom{v^{4}}&&&&&\\&v^{4}&+0 v^{3}&+v^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{BlueViolet}- v^{2}}&+0 v&+0&\frac{{\color{BlueViolet}- v^{2}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{BlueViolet}-1}\\&&&-\phantom{- v^{2}}&&&\\&&&- v^{2}&+0 v&-1&{\color{BlueViolet}-1} \left(v^{2}+1\right) = - v^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

由於餘式的次數小於除式的次數，我們就完成了。

結果表再次顯示如下：

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Red}v^{2}}&{\color{BlueViolet}-1}&&&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}v^{2}}+1&{\color{Red}v^{4}}&+0 v^{3}&+0 v^{2}&+0 v&+0&\frac{{\color{Red}v^{4}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{Red}v^{2}}\\&-\phantom{v^{4}}&&&&&\\&v^{4}&+0 v^{3}&+v^{2}&&&{\color{Red}v^{2}} \left(v^{2}+1\right) = v^{4}+v^{2}\\\hline\\&&&{\color{BlueViolet}- v^{2}}&+0 v&+0&\frac{{\color{BlueViolet}- v^{2}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{BlueViolet}-1}\\&&&-\phantom{- v^{2}}&&&\\&&&- v^{2}&+0 v&-1&{\color{BlueViolet}-1} \left(v^{2}+1\right) = - v^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

因此，$$$\frac{v^{4}}{v^{2} + 1} = \left(v^{2} - 1\right) + \frac{1}{v^{2} + 1}$$$。