將 $$$v^{3}$$$ 除以 $$$v^{2} + 1$$$

請將題目寫成特殊格式（缺少的項以零係數表示）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\v^{2}+1&v^{3}+0 v^{2}+0 v+0\end{array}$$$

步驟 1

將被除式的首項除以除式的首項：$$$\frac{v^{3}}{v^{2}} = v$$$。

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$v \left(v^{2}+1\right) = v^{3}+v$$$。

從所得結果中減去被除數：$$$\left(v^{3}\right) - \left(v^{3}+v\right) = - v$$$。

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{DarkCyan}v}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}v^{2}}+1&{\color{DarkCyan}v^{3}}&+0 v^{2}&+0 v&+0&\frac{{\color{DarkCyan}v^{3}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{DarkCyan}v}\\&-\phantom{v^{3}}&&&&\\&v^{3}&+0 v^{2}&+v&&{\color{DarkCyan}v} \left(v^{2}+1\right) = v^{3}+v\\\hline\\&&&- v&+0&\end{array}$$

由於餘式的次數小於除式的次數，我們就完成了。

結果表再次顯示如下：

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{DarkCyan}v}&&&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}v^{2}}+1&{\color{DarkCyan}v^{3}}&+0 v^{2}&+0 v&+0&\frac{{\color{DarkCyan}v^{3}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{DarkCyan}v}\\&-\phantom{v^{3}}&&&&\\&v^{3}&+0 v^{2}&+v&&{\color{DarkCyan}v} \left(v^{2}+1\right) = v^{3}+v\\\hline\\&&&- v&+0&\end{array}$$

因此，$$$\frac{v^{3}}{v^{2} + 1} = v + \frac{- v}{v^{2} + 1}$$$。