將 $$$u^{3}$$$ 除以 $$$u - 1$$$

請將題目寫成特殊格式（缺少的項以零係數表示）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u-1&u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

步驟 1

將被除式的首項除以除式的首項：$$$\frac{u^{3}}{u} = u^{2}$$$。

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$u^{2} \left(u-1\right) = u^{3}- u^{2}$$$。

從所得結果中減去被除數：$$$\left(u^{3}\right) - \left(u^{3}- u^{2}\right) = u^{2}$$$。

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{SaddleBrown}u^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&{\color{SaddleBrown}u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}u^{3}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{SaddleBrown}u^{2}}\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&{\color{SaddleBrown}u^{2}} \left(u-1\right) = u^{3}- u^{2}\\\hline\\&&u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

步驟 2

將所得餘式的首項除以除式的首項：$$$\frac{u^{2}}{u} = u$$$

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$u \left(u-1\right) = u^{2}- u$$$。

從所得結果中減去餘數：$$$\left(u^{2}\right) - \left(u^{2}- u\right) = u$$$。

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&u^{2}&{\color{Violet}+u}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{Violet}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{Violet}u^{2}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Violet}u}\\&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&u^{2}&- u&&{\color{Violet}u} \left(u-1\right) = u^{2}- u\\\hline\\&&&u&+0&\end{array}$$

步驟 3

將所得餘式的首項除以除式的首項：$$$\frac{u}{u} = 1$$$

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$1 \left(u-1\right) = u-1$$$。

從所得結果中減去餘數：$$$\left(u\right) - \left(u-1\right) = 1$$$。

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&u^{2}&+u&{\color{Crimson}+1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&\\\hline\\&&u^{2}&+0 u&+0&\\&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&u^{2}&- u&&\\\hline\\&&&{\color{Crimson}u}&+0&\frac{{\color{Crimson}u}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Crimson}1}\\&&&-\phantom{u}&&\\&&&u&-1&{\color{Crimson}1} \left(u-1\right) = u-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

由於餘式的次數小於除式的次數，我們就完成了。

結果表再次顯示如下：

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{SaddleBrown}u^{2}}&{\color{Violet}+u}&{\color{Crimson}+1}&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&{\color{SaddleBrown}u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}u^{3}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{SaddleBrown}u^{2}}\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&{\color{SaddleBrown}u^{2}} \left(u-1\right) = u^{3}- u^{2}\\\hline\\&&{\color{Violet}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{Violet}u^{2}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Violet}u}\\&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&u^{2}&- u&&{\color{Violet}u} \left(u-1\right) = u^{2}- u\\\hline\\&&&{\color{Crimson}u}&+0&\frac{{\color{Crimson}u}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Crimson}1}\\&&&-\phantom{u}&&\\&&&u&-1&{\color{Crimson}1} \left(u-1\right) = u-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

因此，$$$\frac{u^{3}}{u - 1} = \left(u^{2} + u + 1\right) + \frac{1}{u - 1}$$$。