將 $$$u^{5}$$$ 除以 $$$u^{3} + 1$$$

請將題目寫成特殊格式（缺少的項以零係數表示）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u^{3}+1&u^{5}+0 u^{4}+0 u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

步驟 1

將被除式的首項除以除式的首項：$$$\frac{u^{5}}{u^{3}} = u^{2}$$$。

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$u^{2} \left(u^{3}+1\right) = u^{5}+u^{2}$$$。

從所得結果中減去被除數：$$$\left(u^{5}\right) - \left(u^{5}+u^{2}\right) = - u^{2}$$$。

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&{\color{Purple}u^{2}}&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{3}}+1&{\color{Purple}u^{5}}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Purple}u^{5}}}{{\color{Magenta}u^{3}}} = {\color{Purple}u^{2}}\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&{\color{Purple}u^{2}} \left(u^{3}+1\right) = u^{5}+u^{2}\\\hline\\&&&&- u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

由於餘式的次數小於除式的次數，我們就完成了。

結果表再次顯示如下：

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&{\color{Purple}u^{2}}&&&&&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}u^{3}}+1&{\color{Purple}u^{5}}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Purple}u^{5}}}{{\color{Magenta}u^{3}}} = {\color{Purple}u^{2}}\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&{\color{Purple}u^{2}} \left(u^{3}+1\right) = u^{5}+u^{2}\\\hline\\&&&&- u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

因此，$$$\frac{u^{5}}{u^{3} + 1} = u^{2} + \frac{- u^{2}}{u^{3} + 1}$$$。