將 $$$u^{5}$$$ 除以 $$$u^{2} + 1$$$

請將題目寫成特殊格式（缺少的項以零係數表示）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u^{2}+1&u^{5}+0 u^{4}+0 u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

步驟 1

將被除式的首項除以除式的首項：$$$\frac{u^{5}}{u^{2}} = u^{3}$$$。

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$u^{3} \left(u^{2}+1\right) = u^{5}+u^{3}$$$。

從所得結果中減去被除數：$$$\left(u^{5}\right) - \left(u^{5}+u^{3}\right) = - u^{3}$$$。

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&{\color{Chartreuse}u^{3}}&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Chartreuse}u^{5}}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Chartreuse}u^{5}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Chartreuse}u^{3}}\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+u^{3}&&&&{\color{Chartreuse}u^{3}} \left(u^{2}+1\right) = u^{5}+u^{3}\\\hline\\&&&- u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

步驟 2

將所得餘式的首項除以除式的首項：$$$\frac{- u^{3}}{u^{2}} = - u$$$

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$- u \left(u^{2}+1\right) = - u^{3}- u$$$。

從所得結果中減去餘數：$$$\left(- u^{3}\right) - \left(- u^{3}- u\right) = u$$$。

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&u^{3}&{\color{DeepPink}- u}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+u^{3}&&&&\\\hline\\&&&{\color{DeepPink}- u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{DeepPink}- u^{3}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{DeepPink}- u}\\&&&-\phantom{- u^{3}}&&&&\\&&&- u^{3}&+0 u^{2}&- u&&{\color{DeepPink}- u} \left(u^{2}+1\right) = - u^{3}- u\\\hline\\&&&&&u&+0&\end{array}$$

由於餘式的次數小於除式的次數，我們就完成了。

結果表再次顯示如下：

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&{\color{Chartreuse}u^{3}}&{\color{DeepPink}- u}&&&&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Chartreuse}u^{5}}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Chartreuse}u^{5}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Chartreuse}u^{3}}\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+u^{3}&&&&{\color{Chartreuse}u^{3}} \left(u^{2}+1\right) = u^{5}+u^{3}\\\hline\\&&&{\color{DeepPink}- u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{DeepPink}- u^{3}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{DeepPink}- u}\\&&&-\phantom{- u^{3}}&&&&\\&&&- u^{3}&+0 u^{2}&- u&&{\color{DeepPink}- u} \left(u^{2}+1\right) = - u^{3}- u\\\hline\\&&&&&u&+0&\end{array}$$

因此，$$$\frac{u^{5}}{u^{2} + 1} = \left(u^{3} - u\right) + \frac{u}{u^{2} + 1}$$$。