將 $$$u^{4}$$$ 除以 $$$u^{2} + 1$$$

請將題目寫成特殊格式（缺少的項以零係數表示）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u^{2}+1&u^{4}+0 u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

步驟 1

將被除式的首項除以除式的首項：$$$\frac{u^{4}}{u^{2}} = u^{2}$$$。

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$u^{2} \left(u^{2}+1\right) = u^{4}+u^{2}$$$。

從所得結果中減去被除數：$$$\left(u^{4}\right) - \left(u^{4}+u^{2}\right) = - u^{2}$$$。

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Red}u^{2}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Red}u^{4}}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Red}u^{4}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Red}u^{2}}\\&-\phantom{u^{4}}&&&&&\\&u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&{\color{Red}u^{2}} \left(u^{2}+1\right) = u^{4}+u^{2}\\\hline\\&&&- u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

步驟 2

將所得餘式的首項除以除式的首項：$$$\frac{- u^{2}}{u^{2}} = -1$$$

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$- \left(u^{2}+1\right) = - u^{2}-1$$$。

從所得結果中減去餘數：$$$\left(- u^{2}\right) - \left(- u^{2}-1\right) = 1$$$。

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&u^{2}&{\color{DarkMagenta}-1}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{4}}&&&&&\\&u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{DarkMagenta}- u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{DarkMagenta}- u^{2}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{DarkMagenta}-1}\\&&&-\phantom{- u^{2}}&&&\\&&&- u^{2}&+0 u&-1&{\color{DarkMagenta}-1} \left(u^{2}+1\right) = - u^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

由於餘式的次數小於除式的次數，我們就完成了。

結果表再次顯示如下：

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Red}u^{2}}&{\color{DarkMagenta}-1}&&&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Red}u^{4}}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Red}u^{4}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Red}u^{2}}\\&-\phantom{u^{4}}&&&&&\\&u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&{\color{Red}u^{2}} \left(u^{2}+1\right) = u^{4}+u^{2}\\\hline\\&&&{\color{DarkMagenta}- u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{DarkMagenta}- u^{2}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{DarkMagenta}-1}\\&&&-\phantom{- u^{2}}&&&\\&&&- u^{2}&+0 u&-1&{\color{DarkMagenta}-1} \left(u^{2}+1\right) = - u^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

因此，$$$\frac{u^{4}}{u^{2} + 1} = \left(u^{2} - 1\right) + \frac{1}{u^{2} + 1}$$$。