將 $$$u^{3}$$$ 除以 $$$u^{2} + 1$$$

請將題目寫成特殊格式（缺少的項以零係數表示）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u^{2}+1&u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

步驟 1

將被除式的首項除以除式的首項：$$$\frac{u^{3}}{u^{2}} = u$$$。

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$u \left(u^{2}+1\right) = u^{3}+u$$$。

從所得結果中減去被除數：$$$\left(u^{3}\right) - \left(u^{3}+u\right) = - u$$$。

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Chartreuse}u}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Chartreuse}u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Chartreuse}u^{3}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Chartreuse}u}\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&+0 u^{2}&+u&&{\color{Chartreuse}u} \left(u^{2}+1\right) = u^{3}+u\\\hline\\&&&- u&+0&\end{array}$$

由於餘式的次數小於除式的次數，我們就完成了。

結果表再次顯示如下：

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Chartreuse}u}&&&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Chartreuse}u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Chartreuse}u^{3}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Chartreuse}u}\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&+0 u^{2}&+u&&{\color{Chartreuse}u} \left(u^{2}+1\right) = u^{3}+u\\\hline\\&&&- u&+0&\end{array}$$

因此，$$$\frac{u^{3}}{u^{2} + 1} = u + \frac{- u}{u^{2} + 1}$$$。