將 $$$x^{6}$$$ 除以 $$$\left(x^{2} + 1\right)^{2}$$$

將除數改寫：$$$\left(x^{2} + 1\right)^{2} = x^{4} + 2 x^{2} + 1$$$。

請將題目寫成特殊格式（缺少的項以零係數表示）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x^{4}+2 x^{2}+1&x^{6}+0 x^{5}+0 x^{4}+0 x^{3}+0 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

步驟 1

將被除式的首項除以除式的首項：$$$\frac{x^{6}}{x^{4}} = x^{2}$$$。

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$x^{2} \left(x^{4}+2 x^{2}+1\right) = x^{6}+2 x^{4}+x^{2}$$$。

從所得結果中減去被除數：$$$\left(x^{6}\right) - \left(x^{6}+2 x^{4}+x^{2}\right) = - 2 x^{4}- x^{2}$$$。

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&{\color{Blue}x^{2}}&&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{4}}+2 x^{2}+1&{\color{Blue}x^{6}}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Blue}x^{6}}}{{\color{Magenta}x^{4}}} = {\color{Blue}x^{2}}\\&-\phantom{x^{6}}&&&&&&&\\&x^{6}&+0 x^{5}&+2 x^{4}&+0 x^{3}&+x^{2}&&&{\color{Blue}x^{2}} \left(x^{4}+2 x^{2}+1\right) = x^{6}+2 x^{4}+x^{2}\\\hline\\&&&- 2 x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

步驟 2

將所得餘式的首項除以除式的首項：$$$\frac{- 2 x^{4}}{x^{4}} = -2$$$

將計算結果寫在表格的上半部。

將其乘以除數：$$$- 2 \left(x^{4}+2 x^{2}+1\right) = - 2 x^{4}- 4 x^{2}-2$$$。

從所得結果中減去餘數：$$$\left(- 2 x^{4}- x^{2}\right) - \left(- 2 x^{4}- 4 x^{2}-2\right) = 3 x^{2}+2$$$。

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&x^{2}&{\color{Violet}-2}&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{4}}+2 x^{2}+1&x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{6}}&&&&&&&\\&x^{6}&+0 x^{5}&+2 x^{4}&+0 x^{3}&+x^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{Violet}- 2 x^{4}}&+0 x^{3}&- x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Violet}- 2 x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{4}}} = {\color{Violet}-2}\\&&&-\phantom{- 2 x^{4}}&&&&&\\&&&- 2 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&-2&{\color{Violet}-2} \left(x^{4}+2 x^{2}+1\right) = - 2 x^{4}- 4 x^{2}-2\\\hline\\&&&&&3 x^{2}&+0 x&+2&\end{array}$$

由於餘式的次數小於除式的次數，我們就完成了。

結果表再次顯示如下：

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&{\color{Blue}x^{2}}&{\color{Violet}-2}&&&&&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}x^{4}}+2 x^{2}+1&{\color{Blue}x^{6}}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Blue}x^{6}}}{{\color{Magenta}x^{4}}} = {\color{Blue}x^{2}}\\&-\phantom{x^{6}}&&&&&&&\\&x^{6}&+0 x^{5}&+2 x^{4}&+0 x^{3}&+x^{2}&&&{\color{Blue}x^{2}} \left(x^{4}+2 x^{2}+1\right) = x^{6}+2 x^{4}+x^{2}\\\hline\\&&&{\color{Violet}- 2 x^{4}}&+0 x^{3}&- x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Violet}- 2 x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{4}}} = {\color{Violet}-2}\\&&&-\phantom{- 2 x^{4}}&&&&&\\&&&- 2 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&-2&{\color{Violet}-2} \left(x^{4}+2 x^{2}+1\right) = - 2 x^{4}- 4 x^{2}-2\\\hline\\&&&&&3 x^{2}&+0 x&+2&\end{array}$$

因此，$$$\frac{x^{6}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = \left(x^{2} - 2\right) + \frac{3 x^{2} + 2}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$$。