$$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\4 & 1 & 7\end{array}\right]$$$ 的零空间

求$$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\4 & 1 & 7\end{array}\right]$$$的零空间。

该矩阵的行最简形为 $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & \frac{11}{7}\\0 & 1 & \frac{5}{7}\end{array}\right]$$$（步骤请参见 rref calculator）。

要找到零空间，求解矩阵方程 $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & \frac{11}{7}\\0 & 1 & \frac{5}{7}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]$$$。

如果取$$$x_{3} = t$$$，则$$$x_{1} = - \frac{11 t}{7}$$$, $$$x_{2} = - \frac{5 t}{7}$$$。

因此，$$$\mathbf{\vec{x}} = \left[\begin{array}{c}- \frac{11 t}{7}\\- \frac{5 t}{7}\\t\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}- \frac{11}{7}\\- \frac{5}{7}\\1\end{array}\right] t$$$。

这是零空间。

矩阵的零度是其零空间的维数。

因此，矩阵的零度为 $$$1$$$。

零空间的基为 $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{11}{7}\\- \frac{5}{7}\\1\end{array}\right]\right\}\approx \left\{\left[\begin{array}{c}-1.571428571428571\\-0.714285714285714\\1\end{array}\right]\right\}$$$A。

矩阵的零度为$$$1$$$A。