LU分解计算器
逐步求矩阵的LU分解
该计算器将（若可能）求出给定矩阵 $$$A$$$ 的 LU 分解，即找出下三角矩阵 $$$L$$$ 和上三角矩阵 $$$U$$$，使得 $$$A=LU$$$，并显示步骤。
在需要部分主元选取（需要进行行置换）时，计算器还会求出置换矩阵 $$$P$$$，使得 $$$PA=LU$$$。
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您的输入
求$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\3 & -2 & 0\\1 & 5 & 3\end{array}\right]$$$的LU分解。
解答
从单位矩阵$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right]$$$开始。
从第$$$2$$$行中减去第$$$1$$$行的$$$\frac{3}{2}$$$倍：$$$R_{2} = R_{2} - \frac{3 R_{1}}{2}$$$。
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\1 & 5 & 3\end{array}\right]$$$
将系数$$$\frac{3}{2}$$$写入矩阵$$$L$$$的第$$$2$$$行第$$$1$$$列：
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right]$$$
从第$$$3$$$行中减去第$$$1$$$行的$$$\frac{1}{2}$$$倍：$$$R_{3} = R_{3} - \frac{R_{1}}{2}$$$。
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2}\end{array}\right]$$$
将系数$$$\frac{1}{2}$$$写入矩阵$$$L$$$的第$$$3$$$行第$$$1$$$列：
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & 0 & 1\end{array}\right]$$$
将第$$$2$$$行的$$$\frac{3}{25}$$$倍加到第$$$3$$$行: $$$R_{3} = R_{3} + \frac{3 R_{2}}{25}$$$.
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & 0 & \frac{58}{25}\end{array}\right]$$$
将系数$$$- \frac{3}{25}$$$写入矩阵$$$L$$$的第$$$3$$$行第$$$2$$$列：
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & - \frac{3}{25} & 1\end{array}\right]$$$
所得矩阵为矩阵 $$$U$$$。
答案
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & - \frac{3}{25} & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\1.5 & 1 & 0\\0.5 & -0.12 & 1\end{array}\right]$$$A
$$$U = \left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & 0 & \frac{58}{25}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & -12.5 & -1.5\\0 & 0 & 2.32\end{array}\right]$$$A