$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{5}{2} & \frac{3}{2}\\- \frac{3}{2} & - \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$ 的特征值和特征向量

求$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{5}{2} & \frac{3}{2}\\- \frac{3}{2} & - \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$的特征值和特征向量。

首先，通过将给定矩阵 $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{5}{2} - \lambda & \frac{3}{2}\\- \frac{3}{2} & - \lambda - \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$ 的对角元素减去$$$\lambda$$$ 来构造一个新矩阵。

所得矩阵的行列式为 $$$\left(\lambda - 1\right)^{2}$$$（步骤参见行列式计算器）。

解方程$$$\left(\lambda - 1\right)^{2} = 0$$$。

根为$$$\lambda_{1} = 1$$$, $$$\lambda_{2} = 1$$$（步骤见方程求解器）。

这些是特征值。

接下来，求特征向量。

$$$\lambda = 1$$$

$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{5}{2} - \lambda & \frac{3}{2}\\- \frac{3}{2} & - \lambda - \frac{1}{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{3}{2} & \frac{3}{2}\\- \frac{3}{2} & - \frac{3}{2}\end{array}\right]$$$

该矩阵的零空间为 $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (步骤详见 零空间计算器).

这是特征向量。

特征值：$$$1$$$A，重数：$$$2$$$A，特征向量：$$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$A。