$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3} & 0\\0 & \frac{1}{3}\end{array}\right]$$$ 的特征值和特征向量

求$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3} & 0\\0 & \frac{1}{3}\end{array}\right]$$$的特征值和特征向量。

首先，通过将给定矩阵 $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3} - \lambda & 0\\0 & \frac{1}{3} - \lambda\end{array}\right]$$$ 的对角元素减去$$$\lambda$$$ 来构造一个新矩阵。

所得矩阵的行列式为 $$$\left(\frac{1}{3} - \lambda\right) \left(\frac{2}{3} - \lambda\right)$$$（步骤参见行列式计算器）。

解方程$$$\left(\frac{1}{3} - \lambda\right) \left(\frac{2}{3} - \lambda\right) = 0$$$。

根为$$$\lambda_{1} = \frac{2}{3}$$$, $$$\lambda_{2} = \frac{1}{3}$$$（步骤见方程求解器）。

这些是特征值。

接下来，求特征向量。

• $$$\lambda = \frac{2}{3}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3} - \lambda & 0\\0 & \frac{1}{3} - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 & 0\\0 & - \frac{1}{3}\end{array}\right]$$$

  该矩阵的零空间为 $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]\right\}$$$ (步骤详见 零空间计算器).

  这是特征向量。

• $$$\lambda = \frac{1}{3}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3} - \lambda & 0\\0 & \frac{1}{3} - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$

  该矩阵的零空间为 $$$\left\{\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (步骤详见 零空间计算器).

  这是特征向量。

特征值：$$$\frac{2}{3}\approx 0.666666666666667$$$A，重数：$$$1$$$A，特征向量：$$$\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]$$$A。

特征值：$$$\frac{1}{3}\approx 0.333333333333333$$$A，重数：$$$1$$$A，特征向量：$$$\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]$$$A。