$$$\left[\begin{array}{cc}1 & 3\\1 & -1\end{array}\right]$$$ 的特征值和特征向量

求$$$\left[\begin{array}{cc}1 & 3\\1 & -1\end{array}\right]$$$的特征值和特征向量。

首先，通过将给定矩阵 $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 3\\1 & - \lambda - 1\end{array}\right]$$$ 的对角元素减去$$$\lambda$$$ 来构造一个新矩阵。

所得矩阵的行列式为 $$$\lambda^{2} - 4$$$（步骤参见行列式计算器）。

解方程$$$\lambda^{2} - 4 = 0$$$。

根为$$$\lambda_{1} = -2$$$, $$$\lambda_{2} = 2$$$（步骤见方程求解器）。

这些是特征值。

接下来，求特征向量。

• $$$\lambda = -2$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 3\\1 & - \lambda - 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 & 3\\1 & 1\end{array}\right]$$$

  该矩阵的零空间为 $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (步骤详见 零空间计算器).

  这是特征向量。

• $$$\lambda = 2$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 3\\1 & - \lambda - 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 3\\1 & -3\end{array}\right]$$$

  该矩阵的零空间为 $$$\left\{\left[\begin{array}{c}3\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (步骤详见 零空间计算器).

  这是特征向量。

特征值：$$$-2$$$A，重数：$$$1$$$A，特征向量：$$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$A。

特征值：$$$2$$$A，重数：$$$1$$$A，特征向量：$$$\left[\begin{array}{c}3\\1\end{array}\right]$$$A。