$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10}\end{array}\right]$$$ 的特征值和特征向量

求$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10}\end{array}\right]$$$的特征值和特征向量。

首先，通过将给定矩阵 $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} - \lambda & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10} - \lambda\end{array}\right]$$$ 的对角元素减去$$$\lambda$$$ 来构造一个新矩阵。

所得矩阵的行列式为 $$$\frac{\left(\lambda - 1\right) \left(2 \lambda - 1\right)}{2}$$$（步骤参见行列式计算器）。

解方程$$$\frac{\left(\lambda - 1\right) \left(2 \lambda - 1\right)}{2} = 0$$$。

根为$$$\lambda_{1} = 1$$$, $$$\lambda_{2} = \frac{1}{2}$$$（步骤见方程求解器）。

这些是特征值。

接下来，求特征向量。

• $$$\lambda = 1$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} - \lambda & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10} - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}- \frac{1}{5} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & - \frac{3}{10}\end{array}\right]$$$

  该矩阵的零空间为 $$$\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (步骤详见 零空间计算器).

  这是特征向量。

• $$$\lambda = \frac{1}{2}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} - \lambda & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10} - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{3}{10} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{1}{5}\end{array}\right]$$$

  该矩阵的零空间为 $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (步骤详见 零空间计算器).

  这是特征向量。

特征值：$$$1$$$A，重数：$$$1$$$A，特征向量：$$$\left[\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}1.5\\1\end{array}\right]$$$A。

特征值：$$$\frac{1}{2} = 0.5$$$A，重数：$$$1$$$A，特征向量：$$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$A。