对角化 $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right]$$$
您的输入
将$$$\left[\begin{array}{cc}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right]$$$对角化。
解答
首先，求特征值和特征向量（步骤参见特征值与特征向量计算器）。
特征值：$$$- \frac{-5 + \sqrt{33}}{2}$$$，特征向量：$$$\left[\begin{array}{c}- \frac{3 + \sqrt{33}}{6}\\1\end{array}\right]$$$。
特征值：$$$\frac{5 + \sqrt{33}}{2}$$$，特征向量：$$$\left[\begin{array}{c}\frac{-3 + \sqrt{33}}{6}\\1\end{array}\right]$$$。
构造矩阵$$$P$$$，其第$$$i$$$列为第$$$i$$$个特征向量：$$$P = \left[\begin{array}{cc}- \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & \frac{-3 + \sqrt{33}}{6}\\1 & 1\end{array}\right]$$$。
构造对角矩阵$$$D$$$，其中在第$$$i$$$行第$$$i$$$列的元素为第$$$i$$$个特征值：$$$D = \left[\begin{array}{cc}- \frac{-5 + \sqrt{33}}{2} & 0\\0 & \frac{5 + \sqrt{33}}{2}\end{array}\right]$$$。
矩阵$$$P$$$和$$$D$$$使得初始的矩阵等式$$$\left[\begin{array}{cc}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right] = P D P^{-1}$$$成立。
$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{cc}- \frac{\sqrt{33}}{11} & - \frac{-11 + \sqrt{33}}{22}\\\frac{\sqrt{33}}{11} & \frac{\sqrt{33} + 11}{22}\end{array}\right]$$$（步骤详见逆矩阵计算器）。
答案
$$$P = \left[\begin{array}{cc}- \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & \frac{-3 + \sqrt{33}}{6}\\1 & 1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}-1.457427107756338 & 0.457427107756338\\1 & 1\end{array}\right]$$$A
$$$D = \left[\begin{array}{cc}- \frac{-5 + \sqrt{33}}{2} & 0\\0 & \frac{5 + \sqrt{33}}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}-0.372281323269014 & 0\\0 & 5.372281323269014\end{array}\right]$$$A
$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{cc}- \frac{\sqrt{33}}{11} & - \frac{-11 + \sqrt{33}}{22}\\\frac{\sqrt{33}}{11} & \frac{\sqrt{33} + 11}{22}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}-0.522232967867094 & 0.238883516066453\\0.522232967867094 & 0.761116483933547\end{array}\right]$$$A