矩阵对角化计算器

将$$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3\\1 & 5 & 1\\3 & 1 & 1\end{array}\right]$$$对角化。

首先，求特征值和特征向量（步骤参见特征值与特征向量计算器）。

特征值：$$$6$$$，特征向量：$$$\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]$$$。

特征值：$$$3$$$，特征向量：$$$\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]$$$。

特征值：$$$-2$$$，特征向量：$$$\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]$$$。

构造矩阵$$$P$$$，其第$$$i$$$列为第$$$i$$$个特征向量：$$$P = \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1\\2 & -1 & 0\\1 & 1 & 1\end{array}\right]$$$。

构造对角矩阵$$$D$$$，其中在第$$$i$$$行第$$$i$$$列的元素为第$$$i$$$个特征值：$$$D = \left[\begin{array}{ccc}6 & 0 & 0\\0 & 3 & 0\\0 & 0 & -2\end{array}\right]$$$。

矩阵$$$P$$$和$$$D$$$使得初始的矩阵等式$$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3\\1 & 5 & 1\\3 & 1 & 1\end{array}\right] = P D P^{-1}$$$成立。

$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\\\frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\- \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$（步骤详见逆矩阵计算器）。

$$$P = \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1\\2 & -1 & 0\\1 & 1 & 1\end{array}\right]$$$A

$$$D = \left[\begin{array}{ccc}6 & 0 & 0\\0 & 3 & 0\\0 & 0 & -2\end{array}\right]$$$A

$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\\\frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\- \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}0.166666666666667 & 0.333333333333333 & 0.166666666666667\\0.333333333333333 & -0.333333333333333 & 0.333333333333333\\-0.5 & 0 & 0.5\end{array}\right]$$$A