海森矩阵计算器
逐步求 Hessian 矩阵
该计算器将求出多元函数的海森矩阵，并显示计算步骤。此外，如有需要，它还会在给定点处对海森矩阵进行求值。
您的输入
求函数 $$$x^{3} + 4 x y^{2} + 5 y^{3} - 10$$$ 关于 $$$x$$$, $$$y$$$ 的 Hessian 矩阵。
解答
黑塞矩阵在第$$$i$$$行、第$$$j$$$列的元素是该函数关于第$$$i$$$个和第$$$j$$$个变量的二阶偏导数。
$$$H_{11} = \frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(x^{3} + 4 x y^{2} + 5 y^{3} - 10\right) = 6 x$$$（步骤详见 偏导数计算器）。
$$$H_{12} = \frac{d^{2}}{dydx} \left(x^{3} + 4 x y^{2} + 5 y^{3} - 10\right) = 8 y$$$（步骤详见 偏导数计算器）。
$$$H_{21} = \frac{d^{2}}{dxdy} \left(x^{3} + 4 x y^{2} + 5 y^{3} - 10\right) = 8 y$$$（步骤详见 偏导数计算器）。
$$$H_{22} = \frac{d^{2}}{dy^{2}} \left(x^{3} + 4 x y^{2} + 5 y^{3} - 10\right) = 2 \left(4 x + 15 y\right)$$$（步骤详见 偏导数计算器）。
因此，$$$H = \left[\begin{array}{cc}6 x & 8 y\\8 y & 2 \left(4 x + 15 y\right)\end{array}\right]$$$。
答案
$$$H = \left[\begin{array}{cc}6 x & 8 y\\8 y & 2 \left(4 x + 15 y\right)\end{array}\right]$$$A