函数微分计算器
逐步求函数的微分
对于给定函数 $$$y=f(x)$$$、点 $$$x_0$$$ 以及自变量增量 $$$\Delta x_0$$$，计算器将求出微分 $$$dy$$$ 和函数增量 $$$\Delta y$$$，并显示步骤。
您的输入
当 $$$x_{0} = 1$$$ 和 $$$\Delta x_{0} = \frac{1}{4}$$$ 时，求 $$$f{\left(x \right)} = x^{3}$$$ 的微分 $$$dy$$$ 以及函数的变化量 $$$\Delta y$$$。
解答
求第二个点：$$$x_{0} + \Delta x_{0} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$$$。
在这两个点处计算该函数的值：$$$f{\left(x_{0} + \Delta x_{0} \right)} = f{\left(\frac{5}{4} \right)} = \frac{125}{64}$$$, $$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(1 \right)} = 1$$$。
根据定义：$$$\Delta y = f{\left(x_{0} + \Delta x_{0} \right)} - f{\left(x_{0} \right)} = \frac{125}{64} - 1 = \frac{61}{64}$$$。
求导数：$$$f^{\prime }\left(x\right) = 3 x^{2}$$$（步骤请参见导数计算器）。
在 $$$x_{0} = 1$$$ 处求导数的值：$$$f^{\prime }\left(1\right) = 3$$$。
微分定义为$$$dy = f^{\prime }\left(x_{0}\right) \Delta x_{0} = \left(3\right)\cdot \left(\frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4}$$$。
请注意，随着 $$$\Delta x_0 \to 0$$$，$$$dy$$$ 的值越来越接近 $$$\Delta y$$$。
答案
$$$\Delta y = \frac{61}{64} = 0.953125$$$A, $$$dy = \frac{3}{4} = 0.75$$$A.