$$$f{\left(x \right)} = x^{3} - 31 x - 30$$$ 的可能有理根和实际有理根
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求$$$x^{3} - 31 x - 30 = 0$$$的有理根。
解答
由于所有系数都是整数，我们可以应用有理根定理。
末项系数（即常数项的系数）为 $$$-30$$$。
求它的因数 (带正号和负号): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$.
这些是 $$$p$$$ 的可能取值。
首项系数（最高次项的系数）为 $$$1$$$。
求其因数（包括正负号）：$$$\pm 1$$$.
这些是$$$q$$$的可能取值。
求$$$\frac{p}{q}$$$的所有可能取值：$$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{5}{1}$$$, $$$\pm \frac{6}{1}$$$, $$$\pm \frac{10}{1}$$$, $$$\pm \frac{15}{1}$$$, $$$\pm \frac{30}{1}$$$。
化简并去除重复项（如有）。
这些是可能的有理根：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$。
接下来，检查可能的根：如果$$$a$$$是多项式$$$P{\left(x \right)}$$$的根，将$$$P{\left(x \right)}$$$除以$$$x - a$$$的余式应等于$$$0$$$（根据remainder theorem，这意味着$$$P{\left(a \right)} = 0$$$）。
检验 $$$1$$$：将 $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ 除以 $$$x - 1$$$。
$$$P{\left(1 \right)} = -60$$$；因此，余数为$$$-60$$$。
检验 $$$-1$$$：将 $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ 除以 $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$。
$$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$；因此，余数为$$$0$$$。
因此，$$$-1$$$ 是一个根。
检验 $$$2$$$：将 $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ 除以 $$$x - 2$$$。
$$$P{\left(2 \right)} = -84$$$；因此，余数为$$$-84$$$。
检验 $$$-2$$$：将 $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ 除以 $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$。
$$$P{\left(-2 \right)} = 24$$$；因此，余数为$$$24$$$。
检验 $$$3$$$：将 $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ 除以 $$$x - 3$$$。
$$$P{\left(3 \right)} = -96$$$；因此，余数为$$$-96$$$。
检验 $$$-3$$$：将 $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ 除以 $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$。
$$$P{\left(-3 \right)} = 36$$$；因此，余数为$$$36$$$。
检验 $$$5$$$：将 $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ 除以 $$$x - 5$$$。
$$$P{\left(5 \right)} = -60$$$；因此，余数为$$$-60$$$。
检验 $$$-5$$$：将 $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ 除以 $$$x - \left(-5\right) = x + 5$$$。
$$$P{\left(-5 \right)} = 0$$$；因此，余数为$$$0$$$。
因此，$$$-5$$$ 是一个根。
检验 $$$6$$$：将 $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ 除以 $$$x - 6$$$。
$$$P{\left(6 \right)} = 0$$$；因此，余数为$$$0$$$。
因此，$$$6$$$ 是一个根。
检验 $$$-6$$$：将 $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ 除以 $$$x - \left(-6\right) = x + 6$$$。
$$$P{\left(-6 \right)} = -60$$$；因此，余数为$$$-60$$$。
检验 $$$10$$$：将 $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ 除以 $$$x - 10$$$。
$$$P{\left(10 \right)} = 660$$$；因此，余数为$$$660$$$。
检验 $$$-10$$$：将 $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ 除以 $$$x - \left(-10\right) = x + 10$$$。
$$$P{\left(-10 \right)} = -720$$$；因此，余数为$$$-720$$$。
检验 $$$15$$$：将 $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ 除以 $$$x - 15$$$。
$$$P{\left(15 \right)} = 2880$$$；因此，余数为$$$2880$$$。
检验 $$$-15$$$：将 $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ 除以 $$$x - \left(-15\right) = x + 15$$$。
$$$P{\left(-15 \right)} = -2940$$$；因此，余数为$$$-2940$$$。
检验 $$$30$$$：将 $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ 除以 $$$x - 30$$$。
$$$P{\left(30 \right)} = 26040$$$；因此，余数为$$$26040$$$。
检验 $$$-30$$$：将 $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ 除以 $$$x - \left(-30\right) = x + 30$$$。
$$$P{\left(-30 \right)} = -26100$$$；因此，余数为$$$-26100$$$。
答案
可能的有理根：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$A。
实际的有理根：$$$-1$$$, $$$-5$$$, $$$6$$$A。