$$$f{\left(x \right)} = x^{6} - 64$$$ 的可能有理根和实际有理根
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求$$$x^{6} - 64 = 0$$$的有理根。
解答
由于所有系数都是整数，我们可以应用有理根定理。
末项系数（即常数项的系数）为 $$$-64$$$。
求它的因数 (带正号和负号): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 8$$$, $$$\pm 16$$$, $$$\pm 32$$$, $$$\pm 64$$$.
这些是 $$$p$$$ 的可能取值。
首项系数（最高次项的系数）为 $$$1$$$。
求其因数（包括正负号）：$$$\pm 1$$$.
这些是$$$q$$$的可能取值。
求$$$\frac{p}{q}$$$的所有可能取值：$$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{4}{1}$$$, $$$\pm \frac{8}{1}$$$, $$$\pm \frac{16}{1}$$$, $$$\pm \frac{32}{1}$$$, $$$\pm \frac{64}{1}$$$。
化简并去除重复项（如有）。
这些是可能的有理根：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 8$$$, $$$\pm 16$$$, $$$\pm 32$$$, $$$\pm 64$$$。
接下来，检查可能的根：如果$$$a$$$是多项式$$$P{\left(x \right)}$$$的根，将$$$P{\left(x \right)}$$$除以$$$x - a$$$的余式应等于$$$0$$$（根据remainder theorem，这意味着$$$P{\left(a \right)} = 0$$$）。
检验 $$$1$$$：将 $$$x^{6} - 64$$$ 除以 $$$x - 1$$$。
$$$P{\left(1 \right)} = -63$$$；因此，余数为$$$-63$$$。
检验 $$$-1$$$：将 $$$x^{6} - 64$$$ 除以 $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$。
$$$P{\left(-1 \right)} = -63$$$；因此，余数为$$$-63$$$。
检验 $$$2$$$：将 $$$x^{6} - 64$$$ 除以 $$$x - 2$$$。
$$$P{\left(2 \right)} = 0$$$；因此，余数为$$$0$$$。
因此，$$$2$$$ 是一个根。
检验 $$$-2$$$：将 $$$x^{6} - 64$$$ 除以 $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$。
$$$P{\left(-2 \right)} = 0$$$；因此，余数为$$$0$$$。
因此，$$$-2$$$ 是一个根。
检验 $$$4$$$：将 $$$x^{6} - 64$$$ 除以 $$$x - 4$$$。
$$$P{\left(4 \right)} = 4032$$$；因此，余数为$$$4032$$$。
检验 $$$-4$$$：将 $$$x^{6} - 64$$$ 除以 $$$x - \left(-4\right) = x + 4$$$。
$$$P{\left(-4 \right)} = 4032$$$；因此，余数为$$$4032$$$。
检验 $$$8$$$：将 $$$x^{6} - 64$$$ 除以 $$$x - 8$$$。
$$$P{\left(8 \right)} = 262080$$$；因此，余数为$$$262080$$$。
检验 $$$-8$$$：将 $$$x^{6} - 64$$$ 除以 $$$x - \left(-8\right) = x + 8$$$。
$$$P{\left(-8 \right)} = 262080$$$；因此，余数为$$$262080$$$。
检验 $$$16$$$：将 $$$x^{6} - 64$$$ 除以 $$$x - 16$$$。
$$$P{\left(16 \right)} = 16777152$$$；因此，余数为$$$16777152$$$。
检验 $$$-16$$$：将 $$$x^{6} - 64$$$ 除以 $$$x - \left(-16\right) = x + 16$$$。
$$$P{\left(-16 \right)} = 16777152$$$；因此，余数为$$$16777152$$$。
检验 $$$32$$$：将 $$$x^{6} - 64$$$ 除以 $$$x - 32$$$。
$$$P{\left(32 \right)} = 1073741760$$$；因此，余数为$$$1073741760$$$。
检验 $$$-32$$$：将 $$$x^{6} - 64$$$ 除以 $$$x - \left(-32\right) = x + 32$$$。
$$$P{\left(-32 \right)} = 1073741760$$$；因此，余数为$$$1073741760$$$。
检验 $$$64$$$：将 $$$x^{6} - 64$$$ 除以 $$$x - 64$$$。
$$$P{\left(64 \right)} = 68719476672$$$；因此，余数为$$$68719476672$$$。
检验 $$$-64$$$：将 $$$x^{6} - 64$$$ 除以 $$$x - \left(-64\right) = x + 64$$$。
$$$P{\left(-64 \right)} = 68719476672$$$；因此，余数为$$$68719476672$$$。
答案
可能的有理根：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 8$$$, $$$\pm 16$$$, $$$\pm 32$$$, $$$\pm 64$$$A。
实际的有理根：$$$2$$$, $$$-2$$$A。