将 $$$x^{3}$$$ 除以 $$$x - 3$$$

将题目写成特殊格式（缺失项写为零系数）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x-3&x^{3}+0 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

步骤 1

将被除式的首项除以除式的首项: $$$\frac{x^{3}}{x} = x^{2}$$$.

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$x^{2} \left(x-3\right) = x^{3}- 3 x^{2}$$$。

从得到的结果中减去被除数：$$$\left(x^{3}\right) - \left(x^{3}- 3 x^{2}\right) = 3 x^{2}$$$

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Chartreuse}x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-3&{\color{Chartreuse}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Chartreuse}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Chartreuse}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 3 x^{2}&&&{\color{Chartreuse}x^{2}} \left(x-3\right) = x^{3}- 3 x^{2}\\\hline\\&&3 x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

步骤 2

将所得余式的首项除以除式的首项: $$$\frac{3 x^{2}}{x} = 3 x$$$

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$3 x \left(x-3\right) = 3 x^{2}- 9 x$$$。

从得到的结果中减去余数：$$$\left(3 x^{2}\right) - \left(3 x^{2}- 9 x\right) = 9 x$$$

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&{\color{Brown}+3 x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-3&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 3 x^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{Brown}3 x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Brown}3 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Brown}3 x}\\&&-\phantom{3 x^{2}}&&&\\&&3 x^{2}&- 9 x&&{\color{Brown}3 x} \left(x-3\right) = 3 x^{2}- 9 x\\\hline\\&&&9 x&+0&\end{array}$$

步骤 3

将所得余式的首项除以除式的首项: $$$\frac{9 x}{x} = 9$$$

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$9 \left(x-3\right) = 9 x-27$$$。

从得到的结果中减去余数：$$$\left(9 x\right) - \left(9 x-27\right) = 27$$$

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&+3 x&{\color{DeepPink}+9}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-3&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 3 x^{2}&&&\\\hline\\&&3 x^{2}&+0 x&+0&\\&&-\phantom{3 x^{2}}&&&\\&&3 x^{2}&- 9 x&&\\\hline\\&&&{\color{DeepPink}9 x}&+0&\frac{{\color{DeepPink}9 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DeepPink}9}\\&&&-\phantom{9 x}&&\\&&&9 x&-27&{\color{DeepPink}9} \left(x-3\right) = 9 x-27\\\hline\\&&&&27&\end{array}$$

由于余式的次数小于除式的次数，故除法完成。

所得表格再次显示如下：

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Chartreuse}x^{2}}&{\color{Brown}+3 x}&{\color{DeepPink}+9}&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}x}-3&{\color{Chartreuse}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Chartreuse}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Chartreuse}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 3 x^{2}&&&{\color{Chartreuse}x^{2}} \left(x-3\right) = x^{3}- 3 x^{2}\\\hline\\&&{\color{Brown}3 x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Brown}3 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Brown}3 x}\\&&-\phantom{3 x^{2}}&&&\\&&3 x^{2}&- 9 x&&{\color{Brown}3 x} \left(x-3\right) = 3 x^{2}- 9 x\\\hline\\&&&{\color{DeepPink}9 x}&+0&\frac{{\color{DeepPink}9 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DeepPink}9}\\&&&-\phantom{9 x}&&\\&&&9 x&-27&{\color{DeepPink}9} \left(x-3\right) = 9 x-27\\\hline\\&&&&27&\end{array}$$

因此，$$$\frac{x^{3}}{x - 3} = \left(x^{2} + 3 x + 9\right) + \frac{27}{x - 3}$$$。