将 $$$x^{3} - 1$$$ 除以 $$$x - 2$$$

将题目写成特殊格式（缺失项写为零系数）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x-2&x^{3}+0 x^{2}+0 x-1\end{array}$$$

步骤 1

将被除式的首项除以除式的首项: $$$\frac{x^{3}}{x} = x^{2}$$$.

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$x^{2} \left(x-2\right) = x^{3}- 2 x^{2}$$$。

从得到的结果中减去被除数：$$$\left(x^{3}-1\right) - \left(x^{3}- 2 x^{2}\right) = 2 x^{2}-1$$$

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{DarkCyan}x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&{\color{DarkCyan}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\frac{{\color{DarkCyan}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkCyan}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 2 x^{2}&&&{\color{DarkCyan}x^{2}} \left(x-2\right) = x^{3}- 2 x^{2}\\\hline\\&&2 x^{2}&+0 x&-1&\end{array}$$

步骤 2

将所得余式的首项除以除式的首项: $$$\frac{2 x^{2}}{x} = 2 x$$$

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$2 x \left(x-2\right) = 2 x^{2}- 4 x$$$。

从得到的结果中减去余数：$$$\left(2 x^{2}-1\right) - \left(2 x^{2}- 4 x\right) = 4 x-1$$$

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&{\color{Violet}+2 x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 2 x^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{Violet}2 x^{2}}&+0 x&-1&\frac{{\color{Violet}2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Violet}2 x}\\&&-\phantom{2 x^{2}}&&&\\&&2 x^{2}&- 4 x&&{\color{Violet}2 x} \left(x-2\right) = 2 x^{2}- 4 x\\\hline\\&&&4 x&-1&\end{array}$$

步骤 3

将所得余式的首项除以除式的首项: $$$\frac{4 x}{x} = 4$$$

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$4 \left(x-2\right) = 4 x-8$$$。

从得到的结果中减去余数：$$$\left(4 x-1\right) - \left(4 x-8\right) = 7$$$

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&+2 x&{\color{Blue}+4}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 2 x^{2}&&&\\\hline\\&&2 x^{2}&+0 x&-1&\\&&-\phantom{2 x^{2}}&&&\\&&2 x^{2}&- 4 x&&\\\hline\\&&&{\color{Blue}4 x}&-1&\frac{{\color{Blue}4 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Blue}4}\\&&&-\phantom{4 x}&&\\&&&4 x&-8&{\color{Blue}4} \left(x-2\right) = 4 x-8\\\hline\\&&&&7&\end{array}$$

由于余式的次数小于除式的次数，故除法完成。

所得表格再次显示如下：

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{DarkCyan}x^{2}}&{\color{Violet}+2 x}&{\color{Blue}+4}&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&{\color{DarkCyan}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\frac{{\color{DarkCyan}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkCyan}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 2 x^{2}&&&{\color{DarkCyan}x^{2}} \left(x-2\right) = x^{3}- 2 x^{2}\\\hline\\&&{\color{Violet}2 x^{2}}&+0 x&-1&\frac{{\color{Violet}2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Violet}2 x}\\&&-\phantom{2 x^{2}}&&&\\&&2 x^{2}&- 4 x&&{\color{Violet}2 x} \left(x-2\right) = 2 x^{2}- 4 x\\\hline\\&&&{\color{Blue}4 x}&-1&\frac{{\color{Blue}4 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Blue}4}\\&&&-\phantom{4 x}&&\\&&&4 x&-8&{\color{Blue}4} \left(x-2\right) = 4 x-8\\\hline\\&&&&7&\end{array}$$

因此，$$$\frac{x^{3} - 1}{x - 2} = \left(x^{2} + 2 x + 4\right) + \frac{7}{x - 2}$$$。