将 $$$x^{3} \left(x - 1\right)$$$ 除以 $$$x - 2$$$

将被除数改写为：$$$x^{3} \left(x - 1\right) = x^{4} - x^{3}$$$。

将题目写成特殊格式（缺失项写为零系数）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x-2&x^{4}- x^{3}+0 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

步骤 1

将被除式的首项除以除式的首项: $$$\frac{x^{4}}{x} = x^{3}$$$.

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$x^{3} \left(x-2\right) = x^{4}- 2 x^{3}$$$。

从得到的结果中减去被除数：$$$\left(x^{4}- x^{3}\right) - \left(x^{4}- 2 x^{3}\right) = x^{3}$$$

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Red}x^{3}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&{\color{Red}x^{4}}&- x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Red}x^{4}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Red}x^{3}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- 2 x^{3}&&&&{\color{Red}x^{3}} \left(x-2\right) = x^{4}- 2 x^{3}\\\hline\\&&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

步骤 2

将所得余式的首项除以除式的首项: $$$\frac{x^{3}}{x} = x^{2}$$$

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$x^{2} \left(x-2\right) = x^{3}- 2 x^{2}$$$。

从得到的结果中减去余数：$$$\left(x^{3}\right) - \left(x^{3}- 2 x^{2}\right) = 2 x^{2}$$$

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{3}&{\color{GoldenRod}+x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&x^{4}&- x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- 2 x^{3}&&&&\\\hline\\&&{\color{GoldenRod}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{GoldenRod}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{GoldenRod}x^{2}}\\&&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&&x^{3}&- 2 x^{2}&&&{\color{GoldenRod}x^{2}} \left(x-2\right) = x^{3}- 2 x^{2}\\\hline\\&&&2 x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

步骤 3

将所得余式的首项除以除式的首项: $$$\frac{2 x^{2}}{x} = 2 x$$$

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$2 x \left(x-2\right) = 2 x^{2}- 4 x$$$。

从得到的结果中减去余数：$$$\left(2 x^{2}\right) - \left(2 x^{2}- 4 x\right) = 4 x$$$

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{3}&+x^{2}&{\color{Chartreuse}+2 x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&x^{4}&- x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- 2 x^{3}&&&&\\\hline\\&&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&&x^{3}&- 2 x^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{Chartreuse}2 x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Chartreuse}2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Chartreuse}2 x}\\&&&-\phantom{2 x^{2}}&&&\\&&&2 x^{2}&- 4 x&&{\color{Chartreuse}2 x} \left(x-2\right) = 2 x^{2}- 4 x\\\hline\\&&&&4 x&+0&\end{array}$$

步骤 4

将所得余式的首项除以除式的首项: $$$\frac{4 x}{x} = 4$$$

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$4 \left(x-2\right) = 4 x-8$$$。

从得到的结果中减去余数：$$$\left(4 x\right) - \left(4 x-8\right) = 8$$$

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{3}&+x^{2}&+2 x&{\color{Green}+4}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&x^{4}&- x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- 2 x^{3}&&&&\\\hline\\&&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&&x^{3}&- 2 x^{2}&&&\\\hline\\&&&2 x^{2}&+0 x&+0&\\&&&-\phantom{2 x^{2}}&&&\\&&&2 x^{2}&- 4 x&&\\\hline\\&&&&{\color{Green}4 x}&+0&\frac{{\color{Green}4 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Green}4}\\&&&&-\phantom{4 x}&&\\&&&&4 x&-8&{\color{Green}4} \left(x-2\right) = 4 x-8\\\hline\\&&&&&8&\end{array}$$

由于余式的次数小于除式的次数，故除法完成。

所得表格再次显示如下：

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Red}x^{3}}&{\color{GoldenRod}+x^{2}}&{\color{Chartreuse}+2 x}&{\color{Green}+4}&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&{\color{Red}x^{4}}&- x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Red}x^{4}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Red}x^{3}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- 2 x^{3}&&&&{\color{Red}x^{3}} \left(x-2\right) = x^{4}- 2 x^{3}\\\hline\\&&{\color{GoldenRod}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{GoldenRod}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{GoldenRod}x^{2}}\\&&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&&x^{3}&- 2 x^{2}&&&{\color{GoldenRod}x^{2}} \left(x-2\right) = x^{3}- 2 x^{2}\\\hline\\&&&{\color{Chartreuse}2 x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Chartreuse}2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Chartreuse}2 x}\\&&&-\phantom{2 x^{2}}&&&\\&&&2 x^{2}&- 4 x&&{\color{Chartreuse}2 x} \left(x-2\right) = 2 x^{2}- 4 x\\\hline\\&&&&{\color{Green}4 x}&+0&\frac{{\color{Green}4 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Green}4}\\&&&&-\phantom{4 x}&&\\&&&&4 x&-8&{\color{Green}4} \left(x-2\right) = 4 x-8\\\hline\\&&&&&8&\end{array}$$

因此，$$$\frac{x^{3} \left(x - 1\right)}{x - 2} = \left(x^{3} + x^{2} + 2 x + 4\right) + \frac{8}{x - 2}$$$。