将 $$$x^{2} \left(x - 3\right)$$$ 除以 $$$x - 2$$$

将被除数改写为：$$$x^{2} \left(x - 3\right) = x^{3} - 3 x^{2}$$$。

将题目写成特殊格式（缺失项写为零系数）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x-2&x^{3}- 3 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

步骤 1

将被除式的首项除以除式的首项: $$$\frac{x^{3}}{x} = x^{2}$$$.

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$x^{2} \left(x-2\right) = x^{3}- 2 x^{2}$$$。

从得到的结果中减去被除数：$$$\left(x^{3}- 3 x^{2}\right) - \left(x^{3}- 2 x^{2}\right) = - x^{2}$$$

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Chocolate}x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&{\color{Chocolate}x^{3}}&- 3 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Chocolate}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Chocolate}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 2 x^{2}&&&{\color{Chocolate}x^{2}} \left(x-2\right) = x^{3}- 2 x^{2}\\\hline\\&&- x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

步骤 2

将所得余式的首项除以除式的首项: $$$\frac{- x^{2}}{x} = - x$$$

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$- x \left(x-2\right) = - x^{2}+2 x$$$。

从得到的结果中减去余数：$$$\left(- x^{2}\right) - \left(- x^{2}+2 x\right) = - 2 x$$$

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&{\color{Green}- x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&x^{3}&- 3 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 2 x^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{Green}- x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Green}- x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Green}- x}\\&&-\phantom{- x^{2}}&&&\\&&- x^{2}&+2 x&&{\color{Green}- x} \left(x-2\right) = - x^{2}+2 x\\\hline\\&&&- 2 x&+0&\end{array}$$

步骤 3

将所得余式的首项除以除式的首项: $$$\frac{- 2 x}{x} = -2$$$

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$- 2 \left(x-2\right) = - 2 x+4$$$。

从得到的结果中减去余数：$$$\left(- 2 x\right) - \left(- 2 x+4\right) = -4$$$

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&- x&{\color{Red}-2}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&x^{3}&- 3 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 2 x^{2}&&&\\\hline\\&&- x^{2}&+0 x&+0&\\&&-\phantom{- x^{2}}&&&\\&&- x^{2}&+2 x&&\\\hline\\&&&{\color{Red}- 2 x}&+0&\frac{{\color{Red}- 2 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Red}-2}\\&&&-\phantom{- 2 x}&&\\&&&- 2 x&+4&{\color{Red}-2} \left(x-2\right) = - 2 x+4\\\hline\\&&&&-4&\end{array}$$

由于余式的次数小于除式的次数，故除法完成。

所得表格再次显示如下：

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Chocolate}x^{2}}&{\color{Green}- x}&{\color{Red}-2}&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&{\color{Chocolate}x^{3}}&- 3 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Chocolate}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Chocolate}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 2 x^{2}&&&{\color{Chocolate}x^{2}} \left(x-2\right) = x^{3}- 2 x^{2}\\\hline\\&&{\color{Green}- x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Green}- x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Green}- x}\\&&-\phantom{- x^{2}}&&&\\&&- x^{2}&+2 x&&{\color{Green}- x} \left(x-2\right) = - x^{2}+2 x\\\hline\\&&&{\color{Red}- 2 x}&+0&\frac{{\color{Red}- 2 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Red}-2}\\&&&-\phantom{- 2 x}&&\\&&&- 2 x&+4&{\color{Red}-2} \left(x-2\right) = - 2 x+4\\\hline\\&&&&-4&\end{array}$$

因此，$$$\frac{x^{2} \left(x - 3\right)}{x - 2} = \left(x^{2} - x - 2\right) + \frac{-4}{x - 2}$$$。