将 $$$2 x^{3} - x^{2} - 12$$$ 除以 $$$x + 3$$$

将题目写成特殊格式（缺失项写为零系数）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x+3&2 x^{3}- x^{2}+0 x-12\end{array}$$$

步骤 1

将被除式的首项除以除式的首项: $$$\frac{2 x^{3}}{x} = 2 x^{2}$$$.

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$2 x^{2} \left(x+3\right) = 2 x^{3}+6 x^{2}$$$。

从得到的结果中减去被除数：$$$\left(2 x^{3}- x^{2}-12\right) - \left(2 x^{3}+6 x^{2}\right) = - 7 x^{2}-12$$$

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Crimson}2 x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}+3&{\color{Crimson}2 x^{3}}&- x^{2}&+0 x&-12&\frac{{\color{Crimson}2 x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Crimson}2 x^{2}}\\&-\phantom{2 x^{3}}&&&&\\&2 x^{3}&+6 x^{2}&&&{\color{Crimson}2 x^{2}} \left(x+3\right) = 2 x^{3}+6 x^{2}\\\hline\\&&- 7 x^{2}&+0 x&-12&\end{array}$$

步骤 2

将所得余式的首项除以除式的首项: $$$\frac{- 7 x^{2}}{x} = - 7 x$$$

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$- 7 x \left(x+3\right) = - 7 x^{2}- 21 x$$$。

从得到的结果中减去余数：$$$\left(- 7 x^{2}-12\right) - \left(- 7 x^{2}- 21 x\right) = 21 x-12$$$

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&2 x^{2}&{\color{Green}- 7 x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}+3&2 x^{3}&- x^{2}&+0 x&-12&\\&-\phantom{2 x^{3}}&&&&\\&2 x^{3}&+6 x^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{Green}- 7 x^{2}}&+0 x&-12&\frac{{\color{Green}- 7 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Green}- 7 x}\\&&-\phantom{- 7 x^{2}}&&&\\&&- 7 x^{2}&- 21 x&&{\color{Green}- 7 x} \left(x+3\right) = - 7 x^{2}- 21 x\\\hline\\&&&21 x&-12&\end{array}$$

步骤 3

将所得余式的首项除以除式的首项: $$$\frac{21 x}{x} = 21$$$

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$21 \left(x+3\right) = 21 x+63$$$。

从得到的结果中减去余数：$$$\left(21 x-12\right) - \left(21 x+63\right) = -75$$$

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&2 x^{2}&- 7 x&{\color{Violet}+21}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}+3&2 x^{3}&- x^{2}&+0 x&-12&\\&-\phantom{2 x^{3}}&&&&\\&2 x^{3}&+6 x^{2}&&&\\\hline\\&&- 7 x^{2}&+0 x&-12&\\&&-\phantom{- 7 x^{2}}&&&\\&&- 7 x^{2}&- 21 x&&\\\hline\\&&&{\color{Violet}21 x}&-12&\frac{{\color{Violet}21 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Violet}21}\\&&&-\phantom{21 x}&&\\&&&21 x&+63&{\color{Violet}21} \left(x+3\right) = 21 x+63\\\hline\\&&&&-75&\end{array}$$

由于余式的次数小于除式的次数，故除法完成。

所得表格再次显示如下：

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Crimson}2 x^{2}}&{\color{Green}- 7 x}&{\color{Violet}+21}&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}x}+3&{\color{Crimson}2 x^{3}}&- x^{2}&+0 x&-12&\frac{{\color{Crimson}2 x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Crimson}2 x^{2}}\\&-\phantom{2 x^{3}}&&&&\\&2 x^{3}&+6 x^{2}&&&{\color{Crimson}2 x^{2}} \left(x+3\right) = 2 x^{3}+6 x^{2}\\\hline\\&&{\color{Green}- 7 x^{2}}&+0 x&-12&\frac{{\color{Green}- 7 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Green}- 7 x}\\&&-\phantom{- 7 x^{2}}&&&\\&&- 7 x^{2}&- 21 x&&{\color{Green}- 7 x} \left(x+3\right) = - 7 x^{2}- 21 x\\\hline\\&&&{\color{Violet}21 x}&-12&\frac{{\color{Violet}21 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Violet}21}\\&&&-\phantom{21 x}&&\\&&&21 x&+63&{\color{Violet}21} \left(x+3\right) = 21 x+63\\\hline\\&&&&-75&\end{array}$$

因此，$$$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 12}{x + 3} = \left(2 x^{2} - 7 x + 21\right) + \frac{-75}{x + 3}$$$。