将 $$$x^{3}$$$ 除以 $$$x + 2$$$

将题目写成特殊格式（缺失项写为零系数）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x+2&x^{3}+0 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

步骤 1

将被除式的首项除以除式的首项: $$$\frac{x^{3}}{x} = x^{2}$$$.

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$x^{2} \left(x+2\right) = x^{3}+2 x^{2}$$$。

从得到的结果中减去被除数：$$$\left(x^{3}\right) - \left(x^{3}+2 x^{2}\right) = - 2 x^{2}$$$

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Chartreuse}x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}+2&{\color{Chartreuse}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Chartreuse}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Chartreuse}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+2 x^{2}&&&{\color{Chartreuse}x^{2}} \left(x+2\right) = x^{3}+2 x^{2}\\\hline\\&&- 2 x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

步骤 2

将所得余式的首项除以除式的首项: $$$\frac{- 2 x^{2}}{x} = - 2 x$$$

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$- 2 x \left(x+2\right) = - 2 x^{2}- 4 x$$$。

从得到的结果中减去余数：$$$\left(- 2 x^{2}\right) - \left(- 2 x^{2}- 4 x\right) = 4 x$$$

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&{\color{Violet}- 2 x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}+2&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+2 x^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{Violet}- 2 x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Violet}- 2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Violet}- 2 x}\\&&-\phantom{- 2 x^{2}}&&&\\&&- 2 x^{2}&- 4 x&&{\color{Violet}- 2 x} \left(x+2\right) = - 2 x^{2}- 4 x\\\hline\\&&&4 x&+0&\end{array}$$

步骤 3

将所得余式的首项除以除式的首项: $$$\frac{4 x}{x} = 4$$$

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$4 \left(x+2\right) = 4 x+8$$$。

从得到的结果中减去余数：$$$\left(4 x\right) - \left(4 x+8\right) = -8$$$

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&- 2 x&{\color{Red}+4}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}+2&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+2 x^{2}&&&\\\hline\\&&- 2 x^{2}&+0 x&+0&\\&&-\phantom{- 2 x^{2}}&&&\\&&- 2 x^{2}&- 4 x&&\\\hline\\&&&{\color{Red}4 x}&+0&\frac{{\color{Red}4 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Red}4}\\&&&-\phantom{4 x}&&\\&&&4 x&+8&{\color{Red}4} \left(x+2\right) = 4 x+8\\\hline\\&&&&-8&\end{array}$$

由于余式的次数小于除式的次数，故除法完成。

所得表格再次显示如下：

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Chartreuse}x^{2}}&{\color{Violet}- 2 x}&{\color{Red}+4}&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}x}+2&{\color{Chartreuse}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Chartreuse}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Chartreuse}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+2 x^{2}&&&{\color{Chartreuse}x^{2}} \left(x+2\right) = x^{3}+2 x^{2}\\\hline\\&&{\color{Violet}- 2 x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Violet}- 2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Violet}- 2 x}\\&&-\phantom{- 2 x^{2}}&&&\\&&- 2 x^{2}&- 4 x&&{\color{Violet}- 2 x} \left(x+2\right) = - 2 x^{2}- 4 x\\\hline\\&&&{\color{Red}4 x}&+0&\frac{{\color{Red}4 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Red}4}\\&&&-\phantom{4 x}&&\\&&&4 x&+8&{\color{Red}4} \left(x+2\right) = 4 x+8\\\hline\\&&&&-8&\end{array}$$

因此，$$$\frac{x^{3}}{x + 2} = \left(x^{2} - 2 x + 4\right) + \frac{-8}{x + 2}$$$。